Gegeben ist die Funktion F(x) mit Parameter c, ermittle c so dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist

Question

Aufgabe:

F:(0,∞)->R

f:(0,∞)->R

Gegeben F(x) = c(\( \sqrt{(x+1)^3} \)-\( \sqrt{x^3} \) ) mit c∈R

Ermittle den Wert c für den die Funktion F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x)= \( \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \) ist

Problem/Ansatz:

1. f(x) integrieren

Answer 1

F '(x)= 3/2·c·(√(x + 1) - √x) erweitern mit √(x + 1) + √x ergibt

F '(x)=\( \frac{3c}{2(√(x + 1) +√x)} \) c=4/3.

Comments

vielen Dank! Wie ziehst du die 3/2 in der ersten Zeile raus und wie erweiterst du Zähler und Nenner *√(x + 1) + √x? Ich habe es lange nicht mehr gemacht, ist für mich daher bisschen kurz zum Nachvollziehen. Achso du leitest F nach F' ab und schaust dann...

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Ich leite F nach der Variablen x ab. Hast du das geschafft? Was ist dein Ergebnis? Dann zeige ich dir, wie es weiter geht.

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F'(x)= 3/2·c·(√(x + 1) - √x) steht ja schon da. Dann erweitern ..

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Du hattest doch gefragt, wie ich die 3/2 rausziehe. Was genau willst du wissen?

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Die 1, die im Zähler beim Aus-multiplizieren der Wurzeln über bleibt, hast du die mit in das c reingezogen?

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Schreib doch einfach mal deine Ableitung von F auf. Ohne diese verstehe ich nicht, was du willst.

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F'(x)= 3/2c(\(- \sqrt{x} \) +\( \sqrt{x+1} \) )

erweitern

\( \frac{3c(-\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}{2} \) *\( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \) =\( \frac{3c -x+x+1}{2*(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})} \)

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Im Zähler heißt es (noch richtig) bei dir:

3c·(\( \sqrt{x+1} \) -\( \sqrt{x} \))·(\( \sqrt{x+1} \)+\( \sqrt{x} \)). Der Faktor 3c bleibt unberührt. Auf den zweiten und dritten Faktor wird die dritte binomische Formel angewendet:

3c·(x+1-x) und das ist gleich 3c. Dein Nenner stimmt.

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Achso haha *1. Sorry für meine Unfähigkeit