Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis für den Eigenraum E2(A).

Question

Betrachten wir die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis für den Eigenraum E₂(A).

Finden Sie einen weiteren Eigenwert. Hinweis: Eventuell hilft der Spektralsatz.

Könnte mir einer bei den beiden Aufgaben behilflich sein?

Comments

Ich habe mich leider vertippt. Die richtige Matrix lautet \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1\\ -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Löse das hom Gl.system    (A-2*E)*x  = 0

und erhalte x= (  -r-s+t, r, s, t )  mit   r,s,t aus R.

Also erzeugen (-1;1;0;0) , ( -1 ; 0 ; 1 ; 0 ) und ( 1;0,0,1)

den Lösungsraum und du kannst mit dem Gram-Schmidt-Verfahren

eine Orthonormalbasis bestimmen. Ich bekomme

(1/√2 ) * (-1;1;0;0) ;  (1/√6 ) * (1;1;2;0) ; (1/2 ) * (1;1;-1;1) .

Es ist det(A-x*E) = (x-2)^3 * (x+2) also -2 ein weiterer Eigenwert.