Polarkoordinaten bestimmen und komplexe Gleichung lösen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung

$$z^{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$$

Lösung:

Es gilt $$\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)=e^{-i \frac{\pi}{4}}$$ also muss $|z|=1$ gelten sowie in Polarkoordinaten $z=r e^{i \varphi}$ $$e^{i\left(24 \varphi+\frac{\pi}{4}\right)}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \varphi=k \frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{192} \text { mit } k \in \mathbb{Z}$$

Die 24 verschiedenen Lösungen ergeben sich für $k=0,1, \ldots, 23$

Ansatz/Problem:

Ich habe bei 1/Wurzel(2)=*(1-i) was anderes raus bekommen... und zwar eⁱ*(7pi/4)...

Kann mir wer erklären wie man auf -i*(pi/4) kommt?

Answer 1

Hallo,

e^{-i π/4}   und  e^i·7/4 π  stellen die gleiche komplexe Zahl dar, weil sich die Winkelargumente

-π/4  und  7/4 π  um   (ein Vielfaches von)  2π unterscheiden.

In der komplexen Zahlenebene dreht man den Pfeil von (1|0) bei  - π/4 (- 90°)  im Uhrzeigersinn, bei  7/4 π (270°) entgegen dem Uhrzeigersinn. Beides ergibt den gleichen Pfeil.

Gruß Wolfgang

Comments

Hab ich mir schob fast gedacht. Aber morgen ist meine Prüfung, da wollte ich sicher sein :D

Vielen Dank!!

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immer wieder gern :-)

Answer 2

In einigen Ländern werden Winkel von $-\pi$ bis $+\pi$ angegeben. Bei uns ist dagegen von 0 bis$2\pi$ üblich. Addiere $2\pi$ zu der negativen Lösung und du erhältst deinen Wert.