Vervollständige zu Orthogonalmatrix -> Vorgehen?

Question

Aufgabe:

Die Matrix A = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & 1 \end{pmatrix} \) mit a ∈ ℝ ist genau dann invertierbar, wenn a != ??? gilt.

Außerdem ist die Matrix A genau dann orthogonal, wenn a = ??? gilt.

Problem/Ansatz:

Bei der ersten "Aufgabe" kam ich rasch auf a != 1, da ansonsten det(A)=0 wäre und somit nicht invertierbar. Und hab ich den hässlichen Bruch davor ignoriert, das sollte ja trotzdem passen.

Bei der zweiten "Aufgabe" bin ich mir sehr unsicher. Eigentlich dachte ich, dass es für a = -1 passen sollte aber tut es wohl nicht.

Gibt es eine gute Vorgehensweise bei solchen Aufgaben ans Ziel zu kommen ohne es stur mit einigen Zahlen auszuprobieren?

LG!

Answer 1

Hallo,

Definition der Orthogonalmatrix:

Eine orthogonale Matrix ist in der linearen Algebra eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind

Bilde also das Skalarprodukt der Spaltenvektoren und setze es zu 0:$$1 \cdot 1 + a \cdot 1 = 0 \implies a=-1$$

Answer 2

Aloha :)

Deine Überlegungen zur Invertierbarkeit bzw. der Determinante sind korrekt.

Zum Thema Orthogonalität \(A^{-1}=A^T\) würde ich wie folgt argumentieren:

$$1=A\cdot A^T=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1 & 1\\a & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & a\\1 & 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2 & a+1\\a+1 & a^2+1\end{array}\right)$$Rechts steht die Einheitsmatrix genau dann, wenn \(a=-1\) ist.

Answer 3

Bei der zweiten "Aufgabe"  verwende: Die Inverse ist gleich der transponierten.

Also muss gelten

A * A^T = E

<=>   \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & 1 \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

<=>   \( \frac{1}{2} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & 1 \end{pmatrix} \) *  \( \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

<=>    \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & 1 \end{pmatrix} \) *  \( \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \)

<=>    \( \begin{pmatrix} 2 & a+1 \\ a+1 & a^2+1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \)

Also in der Tat  a=-1

Comments

Ahhh super ja so hab Ichs eigentlich auch gedacht. Also ist \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) die Einheitsmatrix? weil man müsste diese ja noch mit 1/2 multiplizieren, aber wenns dann trotzdem in Ordnung geht klasse :)