Das ist eine Vorübung zum Begriff der Kompaktheit:
(0,1) ⊂ (1,0) ∪(1/2,1/2) ∪(1/3,2/3) ∪(1/4,3/4) ∪... = ∪ (1/n, 1- 1/n)
n∈ℕ (alte Def: n=1,2,3...)
= ∪ An
n∈ℕ
Wegen A1 ist das eine Überdeckung von (0,1).
Ohne A1 wäre es auch eine Überdeckung. Klar?
Gibt es eine endliche Auswahl aus
∪ An
n∈ℕ
die auch Überdeckung von (0,1) ist? Klar: A1.
Deshalb ist
∪ An
n∈{1}
eine "endliche Teilüberdeckung von
∪ An "
n∈ℕ
Ohne A1 gäbe es keine endl. Teilüberdeckung (nur eine unendliche).
Wenn die zu überdeckende Menge "kompakt" ist, gibt es allerdings immer eine "endl. Teilüberdeckung" einer offenen Überdeckung.