Echte Teilüberdeckung auswählen

Question

Könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Wähle aus der Überdeckung des offenen Intervalls \((0,1)\) durch Mengen der Form \( (1/n \), \(1 - (1/n) \)\()\) mit \(n \in \mathbb N \) eine endliche Teilüberdeckung aus.

Ich habe leider nicht den Hauch einer Ahnung, wie man an eine solche Aufgabe herangeht

Answer 1

Hallo,

wie gesagt, halte ich diese Formulierung für formal falsch.

Was wahrscheinlich erwartet wird, ist etwa Folgendes: Bezeichnung \(A_n:=(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n})\). Annahme: Die Mengen \(A_{i1}\), ... \(A_{in}\) mit \(3 \leq i1 < \ldots < in\) wären eine Übedeckung. Dann liegt aber \( \frac{1}{2\cdot  i1} \) nicht in der Vereinigung dieser Mengen, Widerspruch.

Gruß

Comments

Erst einmal ein großed Dank für deine Hilfe. Nur will das immer noch nicht so ganz in meinen Kopf. Was genau hast du jetzt gezeigt? Dass sich gar keine endliche Teilüberdeckung auswählen lässt?

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Ich sehe gerade, dass der Text oben einen Druckfehler enthält, es muss \(\frac{1}{2 \cdot in}\) heißen.

Ja, habe ich: Wenn ich irgendeine endliche Auswahl aus den Intervallen treffe, bleiben immer Elemente, die darin nicht enthalten sind.

Vielleicht skizzierst Du Dir mal ein paar.

Gruß

Answer 2

Wenn eine endliche Teilüberdeckung nur einen Teil der Intervalls (0;1) überdeckt und nur aus endlich vielen Intevallen besteht, dann ist z.B. [1/4; 3/4] eine Teilüberdeckung.

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Hallo,

wirkt das als "Aufgabe" nicht irgendwie simpel?. Vielleicht sollte man mal den Originaltext sehen.

Gruß

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Danke erst einmal! Vielleicht mal eine andere Frage: Wie zeigt man, dass  die Intervalle \(((-1/n), 1 + (1/n))\) offen in \( \mathbb R \) ist?

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(1,2) heißt: offenes Intervall, ohne Randpunkte.

[1,2] heißt (ab)geschlossenes Intervall, inkl. Randpunkte.

s.u.

Answer 3

Das ist eine Vorübung zum Begriff der Kompaktheit:

(0,1) ⊂ (1,0) ∪(1/2,1/2) ∪(1/3,2/3) ∪(1/4,3/4) ∪... = ∪ (1/n, 1- 1/n)

                                                                               n∈ℕ                     (alte Def: n=1,2,3...)

= ∪ A_n
 n∈ℕ 

Wegen A₁ ist das eine Überdeckung von (0,1).

Ohne A₁ wäre es auch eine Überdeckung. Klar?

Gibt es eine endliche Auswahl aus

  ∪   An
n∈ℕ 

die auch Überdeckung von (0,1) ist? Klar: A₁.

Deshalb ist

  ∪  An
n∈{1}

eine "endliche Teilüberdeckung von

  ∪  An  "
n∈ℕ 

Ohne A₁ gäbe es keine endl. Teilüberdeckung (nur eine unendliche).

Wenn die zu überdeckende Menge "kompakt" ist, gibt es allerdings immer eine "endl. Teilüberdeckung" einer offenen Überdeckung.

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Hallo,

die erste Antwort geht von einer anderen Bedeutung des Begriffs "Teilüberdeckung" aus. Das hätte der Fragensteller ansprechen sollen.

Die letzte Antwort geht von der Bedeutung im Kontext der Kompaktheit aus. Allerdings wäre die Definition von A1 doch (1,0), was nicht definiert ist, ebensowenig wie (1/2,1/2) für n=2. Klar, kann man es hilfsweise umdeuten.

Wenn man aber A1 als (0,1) deutet, wird die Frage doch albern, ob eine Überdeckung für eine Menge X, die die Menge X enthält, eine endliche Teilüberdeckung enthält??

Meine Vermutung ist, dass die Frage hätte sein sollen, dass die angegebenen Mengen, ab n=3, eine Überdeckung liefern, die keine endliche enthält.

Gruß

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Also original lautet die Aufgabe so:

 "Versucht aus der Überdeckung des Intervalls (0,1) durch Mengen der Form ((1/n), 1-(1/n)) mit n€N eine endliche Teilüberdeckung auszuwählen."

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Damit ist der Einwand von MathePeter erledigt. Dass die Frage "albern" ist, würde ich zugestehen, vielleicht ist sogar die ganze Mathematik albern. Andernfalls würde ich mich wahrscheinlich nicht mit ihr befassen.

Außerdem hat es wahrscheinlich keinen Sinn, altbekannte klar definierte Begriffe aus der Topologie einfach neu zu definieren wie bei Roland. Ich schlage vor, wir bleiben bei meiner Lösung.

Im Sinne der schon im 8. Jahrtausend v. Chr verwendeten Begriffe, löse ich jetzt noch schnell zur weiteren Illustration die Altaufgabe:

https://www.mathelounge.de/237404/gebe-teiluberdeckung-den-metrischen-raumen-mit-uberdeckung

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ah, okay, vielen Dank euch beiden!

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Interessant, eine Aufgabe mit 3 unvereinbaren Lösungen. Liegt ein Fehler in der Mathematik vor? Was wurde denn in der Übung als Lösung angeboten?

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Habe die Aufgabe aus einem Buch und leider steht dort keine Lösung :(

Ich bin mittlerweile vollends verwirrt hehe. Aber vielleicht kann ich demnächst eine vierte Lösung beisteuern :D

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Was ist mit der oben genannten Altaufgabe? Möchte jemand die Lösung dort kritisieren?