Umkehrfunktion von e Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Gefragt ist die Unkehrfunktion folgender Funktion:

F(x)= 4/(1+20e^(-0,05x))

In der Lösung steht:

-20ln(4-x/(20x))

Problem/Ansatz:

wie kommt man da drauf. Soweit ich weiß, müsste man die Funktion nach x umstellen und dann x durch f(x) und y durch x ersetzen. Bei mir sähe das Umstellen allerdings komplett anders aus.

Answer 1

Aloha :)

Umkehrfunktion bilden:

$$\left.y=\frac{4}{1+20e^{-0,05x}}\quad\right|\;x\text{ und } y \text{ vertauschen, dann nach } y \text{ umstellen.}$$$$\left.x=\frac{4}{1+20e^{-0,05y}}\quad\right|\;\text{Kehrwerte bilden}$$$$\left.\frac{1}{x}=\frac{1+20e^{-0,05y}}{4}\quad\right|\;\cdot4$$$$\left.\frac{4}{x}=1+20e^{-0,05y}\quad\right|\;-1$$$$\left.\frac{4}{x}-1=20e^{-0,05y}\quad\right|\;:20$$$$\left.\frac{1}{5x}-\frac{1}{20}=e^{-0,05y}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{5x}-\frac{1}{20}\right)=-0,05y\quad\right|\;\cdot(-20)$$$$y=-20\ln\left(\frac{1}{5x}-\frac{1}{20}\right)=-20\ln\left(\frac{4}{20x}-\frac{x}{20x}\right)=-20\ln\left(\frac{4-x}{20x}\right)$$

Answer 2

Hallo,

1) nach x auflösen:

y= 4/( 1 +20 e^(-0.05x)) | *Nenner

y( 1 +20 e^(-0.05x))= 4

y +y 20 e^(-0.05x) =4 | -y

y 20 e^(-0.05x) =4 -y |: 20y

e^(-0.05x) =(4-y)/(20y) |ln(..)

-0.05x = ln( (4-y)/(20y))

x= -20 ln( (4-y)/(20y))

2) x und y vertauschen:

y= -20 ln( (4-x)/(20x))