Extremwertaufgabe, Ableitung

Question

Aufgabe:bitte wer kann mir helfen?

Welches rechtwinkelige Dreieck mit dem Flächeninhalt A hat die kürzeste Hypotenuse?

Problem/Ansatz:

Ich scheitere bereits am Ansatz.

Als Hauptbedingung hätte ich. c*2=a^2+b^2

Als Nebenbedingung A=(a.b)/2

Stimmt das so? Und wenn ja, wie mache ich weiter?... bitte um Hilfe. Danke jetzt schon.

Answer 1

HB: c = √(a^2+b^2),  a,b,c > 0
NB: A = 1/2 *a*b

NB nach z.B. a aufgelöst: a = 2 A/b

ZB: √((2 A/b)^2+b^2)

Die ZB dann nach b ableiten bzw. das Minimum von b auf (0, ∞) bestimmen.

Comments

Vielen Dank. Aber wie mache ich jetzt weiter. Bitte noch einmal um Hilfe.

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Die Ableitung nullsetzen und nach b auflösen. Dann hast du den Wert für b.

Diesen in die NB eingesetzt liefert dann umgeformt den Wert für a.

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vielen dank! Werde ich zu lösen versuchen.

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Zur Kontrolle:

[spoiler]

Die beiden Katheten sind gleich lang, d.h. das gleichschenklig rechtwinklige Dreieck hat unter den rechtwinkligen Dreiecken bei geg. Fläche die kürzeste Hypotenuse.

[/spoiler]

Answer 2

A = 1/2 * a * b --> b = 2·A/a

c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + (2·A/a)^2 = a^2 + 4·A^2/a^2

(c^2)' = 2·a - 8·A^2/a^3 = 0 --> a = √(2·A)

b = 2·A/√(2·A) = √(2·A) = a

Es handelt sich also um ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck.