Wie berechne ich diesen Grenzwert?

Question

Wie bestimmt man diesen Grenzwert rechnerisch ? https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%2B1%7D%E2%80%93%5Csqrt%7Bn%7D%7D

Answer 1

lim (n --> ∞) 1 / (√(n + 1) - √n)

Der Nenner geht gegen 0. Damit geht der Ausdruck gegen 1/0 und damit gegen unendlich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28n-%3E%E2%88%9E%29+1%2F%28sqrt%28n+%2B+1%29+-+sqrt%28n%29%29

PS: Das Erweitern gemäß 3. binomischer Formel ist ein Standardverfahren und sollte eigentlich mit in deinem Skript stehen. Willst du einfach nur den Grenzwert vom Nenner berechnen

$$\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\\ \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1) - (n)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\infty} = 0$$

Comments

Durch 0 darf man aber nicht teilen

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es ist ja auch nicht null. nur der grenzwert ist 0

Answer 2

Hallo,

Multipliziere Zähler und Nenner mit:

√(n+1) +√n

Comments

Danke aber wie kommt man auf sowas

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... aber wie kommt man auf sowas

zum einen natürlich aus Erfahrung.

Aber zum anderen habe ich zu meiner Schulzeit (ist schon länger her!) schon in der Mittelstufe mit der Einführung(!) der Wurzeln gelernt, dass die Wurzel im Nenner eines Bruchs möglichst nichts zu suchen hat. D.h. ein Ergebnis wie $$\dots = \frac 1{\sqrt 2}$$ war kein Ergebnis und gab Punktabzug. Volle Punktzahl gab es mit$$\dots = \frac 1{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 \, \cdot \sqrt 2}= \frac 12 \sqrt 2$$In dem Rahmen habe wir dann auch gleich gelernt, dass man einen Term wie den folgenden umformen kann/muss:$$\dots = \frac 1{\sqrt 2 + 1} = \frac {\sqrt 2 - 1}{(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 -1 )} = \frac{\sqrt 2 - 1}{2-1^2} = \sqrt 2 -1$$Und wenn dann ein Ausdruck wie$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}–\sqrt{n}}$$auftaucht, dann ist das obige Vorgehen ganz natürlich.

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Dankee jetzt verstehe ich es auch

Answer 3

Erweitern und 3. binomi. Formel gibt

$$\frac{1*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}–\sqrt{n})*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{1*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{1}$$

Geht also gegen unendlich.