... aber wie kommt man auf sowas
zum einen natürlich aus Erfahrung.
Aber zum anderen habe ich zu meiner Schulzeit (ist schon länger her!) schon in der Mittelstufe mit der Einführung(!) der Wurzeln gelernt, dass die Wurzel im Nenner eines Bruchs möglichst nichts zu suchen hat. D.h. ein Ergebnis wie $$\dots = \frac 1{\sqrt 2}$$ war kein Ergebnis und gab Punktabzug. Volle Punktzahl gab es mit$$\dots = \frac 1{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 \, \cdot \sqrt 2}= \frac 12 \sqrt 2$$In dem Rahmen habe wir dann auch gleich gelernt, dass man einen Term wie den folgenden umformen kann/muss:$$\dots = \frac 1{\sqrt 2 + 1} = \frac {\sqrt 2 - 1}{(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 -1 )} = \frac{\sqrt 2 - 1}{2-1^2} = \sqrt 2 -1$$Und wenn dann ein Ausdruck wie$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}–\sqrt{n}}$$auftaucht, dann ist das obige Vorgehen ganz natürlich.
