Beweisen mit Hilfe der Taylorformel mit Restglied: √(1+x) ≤ 1 + x/2, für alle x≥0

Question

Beweisen Sie die folgende Ungleichung für alle \( x \geq 0 \) mit Hilfe der Taylorformel mit Restglied:

\( \sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2} \)

Answer 1

Hi,

da es bisher keine Antwort gibt, zumindest Taylorpolynom und Restglied:

f(x) = (1+x)^{1/2}

f'(x) = 1/2(1+x)^{-1/2}

f''(x) = -1/4(1+x)^{-3/2}

f'''(x) = 3/8(1+x)^{-5/2}

f''''(x) = -15/16(1+x)^{-7/2}

 

T = 1+1/2x (-1/8x^2+1/16x^3-...)

 

R₁ = -1/4 * 1/2! * (1+ξ)^{-3/2} = -1/8(1+ξ)^{-3/2}

 

Ich bin mir nicht mehr ganz bewusst, wie man mit dem ξ umzugehen hat. Ich glaube das musste man abschätzen. Das Restglied wird aber wohl nichtpositiv bleiben, weswegen man 1+1/2x-δ hat, und man damit ≤1+1/2x ist ;).

 

Grüße

Comments

Das ist doch die Antwort die du gibst oder o.o

---

Ja, das wäre die Antwort, die ich geben würde. In der Argumentation bzgl dem Restglied etwas schwach, wenn man es aber selbstbewusster formuliert, müsste das sogar reichen ;).

---

1+1/2x-δ das Zeichen nach dem 1/2x ist das das ein Zeichen für das taylorpolynom ? Das x steht doch im Nenner oder?

---

Nein, x steht im Zähler:

1+1/2*x und δ ist iwas. Es wird iwas abgezogen (und nicht addiert)