Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)= (120)/(x^2+20)-2

Question

 Ich muss die Symmetrieeigenschaften des Schaubildes bestimmen. Danach das Verhalten der Funktion für x-> +∞. Auch muss ich die Gleichung der Asymptoten des Schaubildes von f angeben. Sowie die Nullstellen, Extremstellen. Ich habe versucht den Anfang auszurechnen stimmt dies und wie geht es weiter?

\( f(x)=\frac{120}{x^{2}+20}-2 \)

\( \rightarrow \frac{120}{x^{2}+20}-\frac{2\left(x^{2}+20\right)}{x^{2}+20} \)

\( =\frac{120}{x^{2}+20}-\frac{2 x^{2}+40}{x^{2}+20} \)

\( \frac{-2 x^{2}+80}{1 x^{2}+20} \)

Answer 1

Hallo Anna,

das sieht doch schon gut aus.

Für die Nullstellen setzt du den Zähler Null. \(x_{12}=\pm\sqrt{40}\approx\pm6.32455532034\)

Hier erst einmal die Kurve:

https://www.desmos.com/calculator/uxk4y3rcun

Du siehst, dass die Kurve symmetrisch zur y-Achse verläuft. Das liegt daran, dass f(-x)=f(x) ist, da bei \(x^2\) das Vorzeichen von x egal ist.

Für \(x\to\pm\infty\) betrachtest du \(f(x)=\frac{120}{x^{2}+20}-2\). Der Bruch strebt gegen Null und -2 bleibt übrig. Die Gleichung der Asymptoten ist also y=-2. Das stimmt mit der Abbildung überein.

Für die Extrema brauchst du die erste Ableitung. Der Kurve entnimmt man, dass bei x=0 ein Maximum vorliegt. Das müsste bei der Rechnung auch herauskommen.

$$ f(x)=120\cdot(x^2+20)^{-1}-2 $$

$$ f'(x)= 120\cdot \underbrace{2x}_{\text{innere Ableitung}} \cdot \underbrace{(-1)\cdot(x^2+20)^{-2}}_{\text{äußere Ableitung}} =-\frac{240 x}{\left(20+x^{2}\right)^{2}} $$

Comments

aber wenn ich den Zähler =0 setzte bekomme ich doch x^2=-20 und dann die wurzel ziehen von 20 geht nicht..

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Nein, es ist doch \(-2x^2+80=0\). Also \(x^2=40\) und \(x_{12}=\pm\sqrt{40}\)

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 (−1)⋅(2+20)^−2 äußere Ableitung von wo kommt das hoch -2?

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Indem man den bisherigen Exponenten -1 um 1 verkleinert...