Nach wie viel Stunden vervierfacht sich der Bestand?

Question

Aufgabe:

Auf einem Joghurtdeckel befinden sich zum Zeitpunkt der Verpackung 60Mio. Bakterien. 39 Stunden später sind es schon 593 Mio.Es wird vorausgesetzt, dass die relative Wachstumsrate der Bakterien konstant ist.

Problem/Ansatz:

Nach wieviel Stunden vervierfacht sich der Bestand?

Bitte um Hilfe und danke im voraus

Comments

Es wäre sinnvoll, wenn du deine Vorkenntnisse zu dem Thema beschriebest. Wenn du die grundlegende Formel nicht kennst, ist es schwierig dir zu helfen.

Answer 1

Ansatz: N(t) = No * e^(kt)

(Formel für exponentielles Wachstum)  gibt

N(39)=60*e^(k*39) = 593

<=> e^(k*39) = 593/60=9,883

<=> k*39=ln(9,883)

<=> k  =ln(9,883) / 39 = 0,0587

==>  N(t) = 60 * e^(0,0587t)

 <=>    60 * e^(0,0587(t+s))  = 4*60 * e^(0,0587t)

 <=>  e^(0,0587t)   *e^(0,0587s)    = 4 * e^(0,0587t) 

<==>      e^(0,0587s)    = 4

<=>   0,0587s = ln(4)

<=>   s = ln(4)/  0,0587 = 23,6

Also vervierfacht er sich in ca. 24h

Comments

Vielen herzlichen Dank für die Mühe aber gibt  es vielleicht nicht eine andere Formel was einfacher zu verstehen ist weil ich würde gerne selber üben und die Aufgabe verstehen

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Es geht auch so:

: N(t) = No * q^t   mit No=60 und

N(39)=60*q^39 = 593   | : 60

                  q^39=9,883

                  q = 39-te Wurzel aus 9,883 = 9,883^(1/39) = 1,0605

Vervierfacht nach s Stunden  bedeutet

                                   q^s = 4

                              1,0605^s = 4

                                  s*ln(1,0605) = ln(4)

                            s = ln(4)/ln(1,0605) =23,6

Vielleicht ist es so verständlicher.

Answer 2

$$ B(t)=B(0)\cdot e^{\lambda t}$$

$$ B(0)=60; B(39)=593; B(t)=240; t=? $$

$$ 593=60\cdot e^{\lambda \cdot 39} \Rightarrow \lambda=\ldots $$

$$ 240=60\cdot e^{\lambda \cdot t}\Rightarrow t=\ldots$$

Comments

Ich verstehe es leider nicht was ist das für Formel ?

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Wenn die relative Wachstumsrate konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor. Wenn z.B. pro Tag eine Anzahl um 10% steigt, hat man bei einem Anfangswert von 100 nach 5 Tagen 100·1,1⁵.

Da man mit der e-Funktion einfacher rechnen kann (ableiten), arbeitet man oft mit e als Basis. Die Formel beschreibt das exponentielle Wachstum. 

Answer 3

B(t)=B_{0}*q^t

593=60*q^39

593/60=q^39

(593/60)^{1/39}=q

q=1,0605

240=60*1,0605^t

4=1,0605^t

t=ln(4)/ln(1,0605)=23,6 h