Erklärung für Ableitung gesucht

Question

Aufgabe:

Diese Funktion müsste ich ableiten:

f(x)= bx*e^((-z/b)*x)+c

Lösung: f‘(x)= e^(-z/b)*(b-z*x)

Problem/Ansatz:

Ich hätte es so abgeleitet, dass ich b als konstanten Vorfaktor vorgezogen hätte und dann die Produktregel angewendet hätte:

f‘(x)= b*(e^((-z/b)*x) + x*(-z/b)*e^(-z/b)*x))

Warum ist das falsch und wie genau kommt man auf die richtige Lösung?

:)

Answer 1

Mit Rechenweg:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 2

f ( x ) = bx * e^((-z/b)*x) + c

die Konstante c fliegt beim Ableiten sowieso raus
und kann weggelassen werden.

f ( x ) = bx * e^((-z/b)*x)
b ist ein Vorfaktor und kann auch zunächst weggelassen
werden muß aber nach dem Ableiten wieder hinzugefügt
werden.
f ( x ) = x * e^((-z/b)*x)

und nun die Ableitung nach der Produktregel
( u * v ) ´ = u´ * v + u * v ´
u = x
u ´= 1
v = e^((-z/b)*x)
v ´= e^((-z/b)*x) * [ (-z/b)*x ] ´ = e^((-z/b)*x) * (-z/b)

u ´ * v + u * v ´

1 * e^((-z/b)*x) + x * e^((-z/b)*x) * (-z/b)

e^((-z/b)*x) * ( 1 + (-z/b) * x )

mit dem Vorfaktor b
f ´( x ) = b * e^((-z/b)*x) * ( 1 + (-z/b) * x )
wer will kann das b noch in die letzte Klammer ziehen
f ´( x ) = e^((-z/b)*x) * ( b - z * x )

Mit einem Matheprogramm überprüft