Sachaufgabe zum Gleichungssystem lösen

Question

Aufgabe:

Bei einem Schulsportfest stellte jede der 9. Klassen zwei Mannschaften auf. Die Mannschaften spielten alle gegeneinander. Insgesamt wurden 28 Spiele ausgetragen. Wie viele 9. Klassen waren am Wettkampf beteiligt?

Problem

Benötige Hilfe bei der Aufstellung der Gleichung !

Answer 1

1/2·n·(n - 1) = 28 --> n = 8

Damit nehmen vier 9. Klassen teil.

Comments

wie kommst du auf dem Term von (n-1). Woraus leitet sich das aus der Aufgabe ab?

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Mach es anders

An Sylvester sind 4 Personen anwesend und ihr stoßt mit Sekt um Mitternacht an. Wie oft klingen die Gläser.

Kannst du das berechnen

Berechne dann auch

An Sylvester sind 6 Personen anwesend und ihr stoßt mit Sekt um Mitternacht an. Wie oft klingen die Gläser.

An Sylvester sind 10 Personen anwesend und ihr stoßt mit Sekt um Mitternacht an. Wie oft klingen die Gläser.

Kannst du das jeweils berechnen. Wie kommt man hier auf einen allgemeinen Term?

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Wenn ich Silvester mit 4 Personen anstoße wird das Glas 3 mal erklingen. Wenn ich davon ausgehe, dass ich eine der 4 Personen bin. Mit 6 Personen wären es demnach 5 mal und mit 10 Personen insgesamt 9 mal.

Allgemein würde ich also schreiben können:

Anzahl des klirrenden Glases = (n-1)

Wie kann ich das jetzt auf die Mannschaften übertragen?

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Du meinst wenn du 3 Personen hast dann erklingen 2 mal die Gläser? Das kann nicht stimmen.

A stößt mit B an.
A stößt mit C an.
B stößt mit C an.

Dann müssten doch 3 mal die Gläser erklingen oder nicht?

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Ja das stimmt. Wenn ich mit 4 Personen nun anstoße wird es dann 6 mal erklingen?

A stößt mit B an.

A stößt mit C an.

A stößt mit D an.

C stößt mit B an.

C stößt mit D an.

D stößt mit B an.

Mit der Anzahl der Personen soll ich nun eine Formel für die Anzahl der Stöße entwickeln?

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Mit der Anzahl der Personen soll ich nun eine Formel für die Anzahl der Stöße entwickeln?

Genau. Was passiert wenn du 4 Personen hast stößt dann nicht jede der vier Personen mit 3 anderen an?

Also wenn du die 4. Person bist würdest du doch mit 3 Leuten anstoßen.

Wenn also jede der 4 Personen mit 3 Personen anstößt dann müssten doch 12 mal die Gläser klingen oder nicht ? Wo mache ich hier wohl den Denkfehler ?

Übrigens mache ich den Absichtlich damit du das verstehst wie man auf eine allgemeine Formel kommt.

Die Formel kennst du ja eigentlich schon.

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Man kann denken, dass jede Person 3 mal anstößt. Jedoch ist das nicht der Fall.

Beispiel: Ich bin Person A und stoße 3 mal mit B,C und D an.

Wenn ich mich nun als C ansehe stoße ich nur noch 2 mal an, da der stoß zwischen A und C ja bereits stattgefunden hat. Liege ich da richtig?

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Richtig. Wenn du sagst jede der n Personen stößt mit (n - 1) Personen an, dann zählst du jedes Anstoßen doppelt

Wenn A mit B anstößt eben auch das B mit A anstößt. Daher muss man nachher noch durch 2 teilen oder mit 1/2 multiplizieren.

Die Formel lautet daher

1/2 * n * (n - 1)

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Vielen Dank für deine Hilfe, habe es jetzt endlich verstanden.

Answer 2

n*(n-1)/2 = 28

n^2-n-56=0

(n+7)(n-8)= 0

n= 8

n=-7 (scheidet aus)

Answer 3

n=Anzahl der Mannschaften. Dann gilt 28=n(n-1)/2 mit der positiven Lösung n=8. Also waren  4 neunte Klassen mit je zwei Mannschaften am Start.