Vektorrechnung Pyramide Koordinaten berechnen

Question

Aufgabe:

ich mache gerade Mathe und bleibe bei einer Aufgabe hängen...

Das Parallelogramm ABCD ist jeweils Grundfläche einer Pyramide mit dem Volumen V. Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist der Diagonalenschnittpunkt M des Parallelogramms. Ermittle die Koordinaten der Pyramidenspitze S.

a) A(1|2|3), B(5|0|-1), C(3|4|-5), D(-1|6|-1); V = 72

Kann mir dabei jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus

Problem/Ansatz:

Ich hab jetzt angefangen mit der Formel vom Volumen, hab den Schnittpunkt der diagonalen m und das Kreuzprodukt AB x AD berechnet... Ich weiß leider nicht, was ich machen soll...

Answer 1

AB = [4, -2, -4]

AD = [-2, 4, -4]

G = |[4, -2, -4] ⨯ [-2, 4, -4]| = |[24, 24, 12]| = 36

V = 1/3·G·h --> h = 3·V / G = 3·72 / 36 = 6

M = 1/2·(A + C) = 1/2·([1, 2, 3] + [3, 4, -5]) = [2, 3, -1]

S1 = [2, 3, -1] + 6/36·[24, 24, 12] = [6, 7, 1]

S2 = [2, 3, -1] - 6/36·[24, 24, 12] = [-2, -1, -3]

Comments

Vielen vielen Dank, ich bin nicht darauf gekommen, das ganze mit der Formel V=1/3*G*h auszurechnen, sondern nur mit V=1/3*I(ABxAD)*ASI

Hast mir mein Leben gerettet :D

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Aber könntest du mir evtl noch erklären, wie du bei den letzten 2 Zeilen drauf gekommen bist?

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Zunächst stellst du quasi die Geradengleichung auf der die Höhe liegt auf. Dann gehst du vom Lotfußpunkt der Höhe genau die Länge dieser Höhe entlang der Geraden. Dort muss dann die Pyramidenspitze liegen.

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Vielen Dank!

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Ich rate dazu dir selber mal eine Skizze zu machen.