Bakterieller Wachstum und die Abnahme

Question

Aufgabe:

Aufgabe 7: Bei einer Temperatur von nur 10 °C sterben die Bakterien einer Kultur ab. Ihre Konzentration in 10 000 pro ml Substrat lässt sich näherungsweise durch die Funktionf beschreiben mit f (x) = 23 0,9*. Dabei ist x die vergangene Zeit in Stunden. Untersuchen Sie mit dem GTR den Graphen der Funktion und beantworten Sie die folgenden Fragen.

 a.) Nach welchem Zeitraum wird sich die Konzentration der Bakterien halbiert haben? b.) Nach welchem Zeitraum werden weniger als 10 % der anfänglichen Konzentration vorhanden sein?

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer die Aufgabe erklären. Verstehe sie gar nicht.

Comments

f (x) = 23 0,9*.    ??

Ich seh kein x.

Answer 1

Dies ist eine Exponentialfunktion und heißt sicher
f (x) = 23 * 0,9  ^x

b0 = 23
b1 = 23 * 0.9 ^1
b2 = 23 * 0.9 * 0.9 = 23 * 0.9 ^2

f ( x ) = 23 * 0.9 ^x
f ( 0 ) = 23 = Anfangwert
Halbierung : f ( x ) / 23 = 0.5

23 * 0.9 ^x /23 = 0.5

oder einfacher
0.9 ^x = 0.5

x = 6.58 Std

b.)
0.9 ^x < 0.1

x = 21.85 std

Comments

Kannst du mir erklären wie du aauf die Ergebnisse kommst?

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Die einfachste Erklärung ist wohl
Anfangsbestand : 1
Nach 1.Jahr : 1 * 0.9 = 0.9
Nach 2 Jahren : erstes Jahr mal 0.9
1 * 0.9 * 0.9 = 0.9 ^2 = 0.81
Nach 3 Jahren : 0.9 ^3 = 0.729

Frage
0.9 ^x = 0.5 | ln ()
x * ln (0.9) = ln (0.5)
x = ln (0.5) / ln(0.9)
x = -0.6931 / -0.1054
x = 6.58 Std

b.) 0.9 ^x = 0.1

Answer 2

Hallo

 dein Funktion ist nicht lesbar, bitte verbessere das. die Fkt in den GTR eintippen kann dir niemand abnehmen,

a)halbiert: f(x)=1/2*f(0) nach x auflösen,

b) f(x)=0,1*f(0) dann x> deine Ergebnis.

auf dem GTR kannst du wohl auch sehen, wann die funktion nur noch Hal so hoch ist und wann nur noch 1/10 so hoch wie am Anfang.

Comments

Die Funktion lautet f(x)= 23*0,9^x

Answer 3

Hallo,

Die Bakerienmenge ist $$f(x) = 23\cdot 0,9^x$$

Also sind anfangs f(0)=23 Mengeneinheiten Bakertieren da.

Laut Fragestellung musst du die Gleichung $$f(x)=0,1\cdot 23$$ (also nur noch 10%)

$$23\cdot 0,9^x=2,3$$

Weiter gehts es: auf beiden Seiten teilen (dividieren)

und dann den Exponenten x bestimmen. Dazu benutzt du den Logarithmus (das ist eine Art Exponentensuchmaschine).

Der GTR ermöglicht auch eine Abkürzung:, wenn du nsolve benutzen darfst (zumiindest kannst du damit kontrollieren)

Ich hoffe, damit kommst du klar. Weiteres findest du auch unter www.mathebaustelle.de/analysis/uebersicht_exponentielles_wachstum.pdf

Answer 4

Ist wohl  23*0,9^x

also so:

~plot~ 23*0.9^x ;[[0|20|0|25]] ~plot~

halbiert nach etwas mehr als 6 Stunden.

0,9^(6,4) ist nur wenig mehr als 1/2 .

Also nach fast 6 einhalb Stunden halbiert.

weniger als 10% : nach ca 21h .

Probe  0,9^21 =0,109 also sind es dann noch 10,9%.