Wie untersucht man, ob sich Folgeverteilungen stabilisieren?

Question

Aufgabe:

b) Sie befinden sich anfangs in Zustand Z1 (es gibt Zustand Z1, Z2, Z3). Berechnen Sie einige Folgeverteilungen und untersuchen Sie, ob sich die Folgeverteilungen stabilisieren. Bestimmen Sie die Grenzverteilung g. Überprüfen Sie die Beziehung U•g=g.

Die Übergangsmatrix lautet:

U=(0,5|0,4|0,1; 0|0,5|0,5; 0|0|1)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie man diese Aufgabe berechnen soll, deswegen würde ich mich über Rechnungswege freuen.

Comments

In der Schulmathematik kommen für gewöhnlich nur spaltenstochstische Übergangsmatrizen zum Einsatz. Deine Matrix ist nicht spaltenstochastisch...

Answer 1

untersuchen Sie, ob sich die Folgeverteilungen stabilisieren

Berechne zum Beispiel \(U^{20}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(U^{21}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(U^{22}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). Wenn sich die Ergebnisse wenig voneinander unterscheiden, dann liegt die Vermutung nahe, dass sich die Folgeverteilungen stabilisieren.

Bestimmen Sie die Grenzverteilung g

Löse die Gleichung \(U\cdot g = g\).

Comments

Steht zwischen U (und Quadrat) und der null/eins oder zwei ein Multiplikationszeichen?

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*ins quadrat

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achso ups nein, hab es verstanden, dass soll U hoch 20 etc. sein. Dankeschön!

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Ich habe mein \(\LaTeX\) korrigiert. Ist das jetzt leserlicher?

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Wie berechnet man denn g? g ist nicht gegeben

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Aber \(U\) ist gegeben.

\( \begin{pmatrix} 0,5&0,4&0\\0&0,5&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g_1\\g_2\\g_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_1\\g_2\\g_3 \end{pmatrix} \)

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Für Nachfolgegenerationen

U ⋅ g = g

gilt nur, wenn U spaltenstochastisch ist. Wenn U zeilenstochastisch ist, müsste gelten

g · U = g

Answer 2

 \( \begin{pmatrix} 0,5 & 0,4 & 0,1 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) ^{^20} ≈  \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Answer 3

In der Matritzenrechnung in Deutschland kommen eigentlich nur spaltenstochastische Matritzen vor. Das sind diejenigen, bei denen alle Elemente aus dem Intervall [0; 1] sind und die Spaltensumme immer 1 ergibt.

Die gegebene Matrix ist zeilenstochastisch. D.h. hier ist statt der Spalten- die Zeilensumme gleich 1.

Ich bilde mal die Transponierte, damit unsere Matrix auch spaltenstochastisch ist.

\( \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0.4 & 0.5 & 0 \\ 0.1 & 0.5 & 1 \end{pmatrix} \)

Erst jetzt gilt für eine stabile Grenzverteilung:

\( M \cdot \overrightarrow v = \overrightarrow v \)

\( \begin{pmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0.4 & 0.5 & 0 \\ 0.1 & 0.5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \cdot x \\ 0.4 \cdot x + 0.5 \cdot y \\ 0.1 \cdot x + 0.5 \cdot y + 1 \cdot z \end{pmatrix} ~~~ \text{ mit } ~~~ x + y + z = 1 \)

Hier erkennt man offensichtlich, dass folgendes gelten muss:

\( x = 0.5 \cdot x \rightarrow x = 0 \)

\( y = 0.4 \cdot 0 + 0.5 \cdot y \rightarrow y = 0 \)

\( z = 0.1 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0 + z \rightarrow z = 1 \)