Wie finde ich die Gleichung der Parabel aus, wenn ich die Fläche, und 4 Punkte kenne?

Question

Aufgabe:

Eine Parabel 3.Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im 1. Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A=27 ein. Wie heisst die Gleichung dieser Parabel?

Problem/Ansatz:

Somit habe ich herausgefunden, dass d und c =0 sind. Ich werde nicht alle meine Lösungswege aufschreiben, da es zu lange dauern wird.

Aber ich habe dazu folgende Punkte gebraucht:

f(0)=0

f'(2)=0

f'(0)=0

Auch habe ich herausgefunden, dass b=-3a ist.

Aber wie finde ich nun die Fläche heraus?

Ich weiss wie man normalerweise die Fläche ausrechnet. Man braucht die Stammfunktion : 0.25ax^2+(1/3)bx^3+0.5cx^2+dx

Und dann brauche ich noch 2 Punkte, die auf der x-Achse liegen, um dann die Fläche zu berechnen. Aber hier in meinem Fall weiss ich es nicht. Wie soll ich vorgehen und was fehlt mir noch?

Danke schon Mal für die Hilfe!

Answer 1

Hallo,

\(f(x)=ax^3+bx^2\)

die Intervallgrenzen sind die Nullstellen der Funktion. Wenn du f(x) = 0 setzt und nach x auflöst, bekommst du x₁ = 0 und x₂ = \(-\frac{b}{a}\). Da b = -3a, ist also die zweite Nullstelle bei 3.

Das setzt du in die Stammfunktion ein und diesen Term = 27. b ersetzt du auch gleich durch -3a und löst dann nach a auf. Die Stammfunktion ist F(x) = 0,25ax⁴ + 1/3 bx³

Melde dich, falls du noch Probleme hast.

Gruß, Silvia

Comments

Danke schön. Nur verstehe ich nicht, wieso Sie auf x2 = -b/a gekommen sind

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$$ax^3+bx^2=0\\ x^2(ax+b)=0\\ x=0\quad ∨\quad ax+b=0\\ ax=-b\\ x=-\frac{b}{a}=\frac{3a}{a}=3$$

jetzt klar?

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Ja, danke! Gibt eig. Sinn...