Wie zeige ich, dass folgende Funktion gilt: P(E)=-2b² + a,6b-0,14?

Question

Aufgabe:

An einer Universität sind 40% der studierenden Personen jünger als 25 Jahre. Ein Teil von ihnen fährt regelmäßig mit dem Fahrrad zur Universität. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte studierende Person der Universität unter 25 Jahren ist und regelmäßig mit dem Fahrrad zur Universität fährt, beträgt 10%.

Die Ereignisse A und B sind wie folgt definiert:

A: Eine zufällig ausgewählte studierende Person der Universität ist jünger als 25 Jahre.

B: Eine zufällig ausgewählte studierende Person der Universität fährt regelmäßig mit dem Fahrrad zur Universität.

b) In diesem Aufgabenteil wird angenommen, dass P(B) variabel ist. Es wird abkürzend gesetzt: P(B)=b 

Ein Ereignis E ist wie folgt festgelegt :

E: Zwei zufällig ausgewählte studierende Personen der Uni sind mind. 25 Jahre alt und von diesen fährt genau eine Person mit dem Fahrrad.

Zeigen Sie, dass gilt: P(E) = -2b ² +1,6b -0,14

Problem/Ansatz:

Woraus lässt sich b) schließen? Wie löse ich das nun?

Answer 1

Aloha :)

40% der Studenten sind jünger als 25, also sind 60% älter oder gleich 25.

10% aller Studenten sind jünger als 25 und kommen regelmäßig mit dem Rad.

Das fassen wir erstmal in einer Tabelle zusammen:$$\begin{array}{rccl}& A\;[<25] & \overline A\;[\ge25] &\\\hline B\;[\text{Rad}]\; | & 0,1 &  & |\; \\\overline{B}\;[\text{kein Rad}]\; | & 0,3 & & |\; \\\hline|& 0,4 & 0,6 &|\;1,0\end{array}$$

Nun soll \(P(B)=b\) variabel angenommen werden. Damit können wir die Tabelle auffüllen:$$\begin{array}{rccl}& A\;[<25] & \overline A\;[\ge25] &\\\hline B\;[\text{Rad}]\; | & 0,1 & b-0,1 & |\; b\\\overline{B}\;[\text{kein Rad}]\; | & 0,3 & 0,7-b & |\; 1-b\\\hline|& 0,4 & 0,6 &|\;1,0\end{array}$$

Nun sollen 2 zufällig ausgesuchte Personen \(\ge25\) sein, eine soll mit dem Rad kommen, die andere nicht.

$$P(E)=P(\overline A\land B)P(\overline A\land \overline B)+P(\overline A\land \overline B)P(\overline A\land B)$$$$\phantom{P(E)}=2\cdot P(\overline A\land B)P(\overline A\land \overline B)$$$$\phantom{P(E)}=2\cdot (b-0,1)\cdot(0,7-b)$$$$\phantom{P(E)}=2\cdot(0,7b-0,07-b^2+0,1b)$$$$\phantom{P(E)}=-2b^2+1,6b-0,14$$

Comments

Echt vielen dank! Das hat mir sehr gut weitergeholfen.