Schnittpunkt 4/x^2=-5/4 x + 21/4

Question

Aufgabe:

4/x^2=-5/4x+21/4

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das am schnellsten?

Und wenn man faktorisieren muss, wäre es sehr cool wenn ihr mir erklären könntet wie ich das mache.

Nachtrag: 

Leider waren die klammern schon richtig weggelassen und die erste Gleichung ist richtig. Ich weiß auch schon die Lösung dieser aber ich weiß nicht wie ich da hin komme.

Am Ende kommt raus:

x1= - 4/5

x2= 1

x3= 4

Answer 1

Hallo,

Wie löse ich das am schnellsten?

wenn es schnell gehen soll, dann gibst Du beide Funktionen rechts und links vom Gleichheitszeichen im Plotlux Plotter ein und liest die Schnittpunkte ab:

~plot~ 4/(x^2);(-5/4)x+21/4;[[-5|8|-1|7|]];{1|4};{4|1/4};{-3/4|25/4} ~plot~

der dritte passt wohl nicht ganz. Ansonsten multipliziere mit dem Hauptnenner zum kubischen Polynom und da die Lösung \(x_0=1\) bereits aus dem Plot bekannt ist, kann man das Polynom dann durch \((x-1)\) dividieren.

$$\begin{aligned} \frac 4{x^2} &=-\frac 54 x + \frac{21}4 &&\left|\,\cdot 4x^2 \right. \\ 16 &=  -5x^3 + 21 x^2 &&\left|\, -16 \right. \\ 0 &=  -5x^3 + 21 x^2 - 16 &&\left|\, \div (x-1) \quad \text{s.u.}\right. \\ 0 &= -5x^2 +16x + 16 &&\left|\, \div (-5) \right. \\ 0&= x^2 - \frac{16}5 x - \frac{16}5\\ x_{1,2} &= \frac 85 \pm \sqrt {\frac{64}{25} + \frac{16}5} \\ &= \frac 85 \pm \frac {12}5 \\ x_1 &= 4, \quad x_2 = -\frac 45 \end{aligned}$$womit die anderen beiden Lösungen dann auch anfallen.

Die Polynomdivsion geht so:

$$\begin{aligned}{1} (&-5x^3 &+ &21x^2 &+ &0x &- &16) \div (x-1) = -5x^2 + 16x + 16 \\ -(&-5x^3 &+ &5x^2) \\ \hline & & &16x^2 &+ &0x \\ & & -(&16x^2 &- &16x) \\ \hline & & & & &16x &- &16 \\ & & & & -(&16x &- &16) \\ \hline & & & & &0 \\ \end{aligned}$$

Comments

Warum rechnet man denn 4*x² um die 4/x² wegzubekommen und warum ergibt das dann 16.

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Du könntest auch erst mit 4 und dann mit x² multiplizieren. Vielleicht wird es dann klarer.

$$\frac{4}{x^2}=-\frac{5}{4}x+\frac{21}{4}\quad |\cdot 4\\ \frac{4\cdot 4}{x^2}=-5x+21\quad |\cdot x^2\\ 16=-5x^3+21x^2$$

Ein Bruch wird mit einer Zahl (oder einem x oder... ) multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert.

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Warum rechnet man denn 4*x² um die 4/x² wegzubekommen?

\(4x^2\) ist der Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung. Links steht \(x^2\) im Nenner und rechts die \(4\); macht zusammen \(4x^2\). Und warum nach der Multiplikation der Gleichung mit \(4x^2\) links eine \(16\) steht, hat Dir Silvia schon erklärt.

Answer 2

Multipliziere die Gleichung mit x² und löse die entstandene quadratische Gleichung.

Comments

Das hatte ich schon versucht dabei kommt aber nur 2 von 3 Ergebnissen raus und 1 davon ist falsch.

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Eine quadratische Gleichung hat keine drei Ergebnisse.

Meine Glaskugel ist übrigens gerade in der Werkstatt. Ich kann also deinen Lösungsweg nicht heranzaubern und damit auch nicht deinen Fehler lokalisieren.

Wie hast du gerechnet?

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Ich habe meine Glaskugel verwendet und wolframalpha benutzt. Leider habe ich nicht deren Vollversion und daher kann ich nicht die Lösung nachvollziehen.

Die Lösungsmenge ist hierbei:

x1=4/5

x2=1

x3=4

Dadurch das es sich um einen schnittpunkt handelt ist es sogar recht logisch die drei Ergebnisse zu bekommen. Haben sie eine Antwort für dieses Rätsel?

Answer 3

So, wie du das (ohne Klammern) geschrieben hast, bedeutet das:

\( \frac{4}{x^2} \) =-\( \frac{5}{4} \) x+\( \frac{21}{4} \). Nach Multiplikation mit x² wird das eine kubische Gleichung, die durch Raten zu lösen ist.

Comments

Leider waren die klammern schon richtig weggelassen und die erste Gleichung ist richtig. Ich weiß auch schon die Lösung dieser aber ich weiß nicht wie ich da hin komme.

Am Ende kommt raus:

x1= - 4/5

x2= 1

x3= 4

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Na dann: eine Lösung erraten und Polynomdivision mit dem Linearfaktor machen...