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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion h mit

h(x)=x4-bx2-4x+12

Eine Mitschülerin behauptet, dass der Funktionsgraph der Funktion h keinen
Wendepunkt besitzt, wenn b negativ ist.
Untersuchen Sie, ob diese Behauptung wahr ist.

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Hallo,

Wendepunkte werden mit der 2. Ableitung bestimmt, die = 0 gesetzt wird.

Das führt  hier zu \(x^{2}=\frac{1}{6}b\)

Ist b negativ, kann keine Wurzel gezogen werde. Die Mitschülerin hat also recht.

Den Lösungsweg kannst du unten anklicken, sofern du ihn brauchst.

Gruß, Silvia

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$$h(x)=x^4-bx^2-4x+12\\ h'(x)=4x^3-2bx-4\\ h''(x)=12x^3-2b\\ 12x^2-2b=0\\12x^2=2b\\ x^2=\frac{1}{6}b =\pm\sqrt{\frac{1}{6}b}$$

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Danke erstmal

So weit war ich auch und jetzt versteh ich nur nicht, wieso b negativ nicht geht. wenn ich die Pq-Formel benutze steht da (-\( \frac{\frac{1}{6}b}{2} \))2 und dann würde doch aus dem negativen b durch das hoch 2 ein positives Ergebnis herauskommen oder nicht?

Du brauchst die pq-Formel nicht.

$$x^2=\frac{1}{6}b$$

Nehmen wir an, b = -1, dann lautet die Gleichung

$$x^2=-\frac{1}{6}$$

Dazu gibt es keine Lösung, weil aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.

Ah ok die wollen also das wenn ich x2 = \( \frac{1}{6}b \) das ich dann nochmal ein minus davorsetze. Damit dort steht x2 = - \( \frac{1}{6}b \) denn dann geht es nicht. Mich hat verwirrt das in der Aufgabenstellung schon ein minus steht und ich nicht wusste wo ich jetzt noch das zweite minus hinsetzen soll

Es ist nicht gewollt, dass du ein Minus davorsetzt, sondern dass du erkennst: wenn b negativ ist, dass ist auch \(\frac{1}{6}b\) eine negative Zahl, aus der keine Wurzel gezogen werden kann.

hä weil dann wie in deinen bsp. oben mit -1

\( \frac{1}{6} \) *(-1) dort stehen würde?

@Apfel16

wenn ich die Pq-Formel benutze steht da ....

Auch wenn man die pq-Formel (wegen p = 0) hier nicht benötigt, ergibt sich natürlich bei deren Verwendung trotzdem die richtige Lösung:

Unter der Wurzel steht dann  (p/2)2 - q  =  0 - (-b/6)  =  b/6

Und b/6 ist für b<0 negativ.

@Silvia

In der letzten Zeile steht in der Mitte ein x zuviel.

Ja, das war nur ein Beispiel. Egal, wie groß oder klein die negative Zahl ist, die ich für b wähle, das Produkt aus ein Sechsel mal b ist negativ.

also bestand die Aufgabe darin, für b eine beliebige negative zahl einzusetzen und diese mit \( \frac{1}{6} \) zu multiplizieren?

Danke, Wolfgang, ich habe es gelöscht.

Das ist die Aufgabenstellung:

Eine Mitschülerin behauptet, dass der Funktionsgraph der Funktion h keinen
Wendepunkt besitzt, wenn b negativ ist.

Untersuchen Sie, ob diese Behauptung wahr ist.

Du hast untersucht, für welche x-Werte diese Funktion Wendepunkte hat.

Die Ergebnisse sind

$$x_1=\sqrt{\frac{1}{6}b}\quad x_2=-\sqrt{\frac{1}{6}b}$$

Das gilt nur unter der Bedingung, dass b nicht negativ ist.

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