Bestimme das es keine Wendepunkte gibt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion h mit

h(x)=x⁴-bx²-4x+12

Eine Mitschülerin behauptet, dass der Funktionsgraph der Funktion h keinen
Wendepunkt besitzt, wenn b negativ ist.
Untersuchen Sie, ob diese Behauptung wahr ist.

Answer 1

Hallo,

Wendepunkte werden mit der 2. Ableitung bestimmt, die = 0 gesetzt wird.

Das führt  hier zu \(x^{2}=\frac{1}{6}b\)

Ist b negativ, kann keine Wurzel gezogen werde. Die Mitschülerin hat also recht.

Den Lösungsweg kannst du unten anklicken, sofern du ihn brauchst.

Gruß, Silvia

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$$h(x)=x^4-bx^2-4x+12\\ h'(x)=4x^3-2bx-4\\ h''(x)=12x^3-2b\\ 12x^2-2b=0\\12x^2=2b\\ x^2=\frac{1}{6}b =\pm\sqrt{\frac{1}{6}b}$$

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Comments

Danke erstmal

So weit war ich auch und jetzt versteh ich nur nicht, wieso b negativ nicht geht. wenn ich die Pq-Formel benutze steht da (-\( \frac{\frac{1}{6}b}{2} \))^{2 und dann würde doch aus dem negativen b durch das hoch 2 ein positives Ergebnis herauskommen oder nicht?}

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Du brauchst die pq-Formel nicht.

$$x^2=\frac{1}{6}b$$

Nehmen wir an, b = -1, dann lautet die Gleichung

$$x^2=-\frac{1}{6}$$

Dazu gibt es keine Lösung, weil aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.

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Ah ok die wollen also das wenn ich x² = \( \frac{1}{6}b \) das ich dann nochmal ein minus davorsetze. Damit dort steht x² = - \( \frac{1}{6}b \) denn dann geht es nicht. Mich hat verwirrt das in der Aufgabenstellung schon ein minus steht und ich nicht wusste wo ich jetzt noch das zweite minus hinsetzen soll

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Es ist nicht gewollt, dass du ein Minus davorsetzt, sondern dass du erkennst: wenn b negativ ist, dass ist auch \(\frac{1}{6}b\) eine negative Zahl, aus der keine Wurzel gezogen werden kann.

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hä weil dann wie in deinen bsp. oben mit -1

\( \frac{1}{6} \) *(-1) dort stehen würde?

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@Apfel16

wenn ich die Pq-Formel benutze steht da ....

Auch wenn man die pq-Formel (wegen p = 0) hier nicht benötigt, ergibt sich natürlich bei deren Verwendung trotzdem die richtige Lösung:

Unter der Wurzel steht dann  (p/2)² - q  =  0 - (-b/6)  =  b/6

Und b/6 ist für b<0 negativ.

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@Silvia

In der letzten Zeile steht in der Mitte ein x zuviel.

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Ja, das war nur ein Beispiel. Egal, wie groß oder klein die negative Zahl ist, die ich für b wähle, das Produkt aus ein Sechsel mal b ist negativ.

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also bestand die Aufgabe darin, für b eine beliebige negative zahl einzusetzen und diese mit \( \frac{1}{6} \) zu multiplizieren?

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Danke, Wolfgang, ich habe es gelöscht.

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Das ist die Aufgabenstellung:

Eine Mitschülerin behauptet, dass der Funktionsgraph der Funktion h keinen
Wendepunkt besitzt, wenn b negativ ist.

Untersuchen Sie, ob diese Behauptung wahr ist.

Du hast untersucht, für welche x-Werte diese Funktion Wendepunkte hat.

Die Ergebnisse sind

$$x_1=\sqrt{\frac{1}{6}b}\quad x_2=-\sqrt{\frac{1}{6}b}$$

Das gilt nur unter der Bedingung, dass b nicht negativ ist.