Lagebeziehung bestimmen zwischen ebenen

Question

Aufgabe: Bestimme die lagebeziehung der beiden Ebenen .

E: 3x-4y+z=1  und   F : y=0

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Den Antworten kannst du entnehmen, dass es sinnvoll wäre, wenn du genauer angeben würdest, was du wissen möchtest, da die Frage eigentlich mit einem Satz beantwortet werden könnte:

Sie schneiden sich in einer Geraden.

Falls die Gleichung der Geraden gesucht wird, muss natürlich noch gerechnet werden.

Answer 1

Aloha :)

Die Ebene \(F\) ist die \(xz\)-Ebene. Der Normalenvektor der Ebene \(E\) schließt mit dem Normalenvektor der \(xz\)-Ebene den folgenden Winkel ein:$$\cos\alpha=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\-4\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1}\cdot\sqrt{1^2}}=\frac{-4}{\sqrt{26}}\quad\Rightarrow\quad\alpha\approx38,33^o$$Eigentlich liefert die \(\arccos\)-Funktion den Schnittwinkel \(141,67^o\), aber es ist Konvention beim Schnittwinkel zweier Vektoren den kleinstmöglichen Winkel anzugeben.

Setzt man in die erste Ebenengleichung \(3x-4y+z=1\) die zweite Ebenengleichung \(y=0\) ein, kann man sie nach \(z=1-3x\) umstellen und die Schnittgerade der beiden Ebenen angeben:$$g:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}x\\0\\1-3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)+x\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\-3\end{array}\right)$$

Answer 2

Löse das Gleichungssystem. Die Lösungsmenge ist die Menge der gemeinsamen Punkte.

Kommt in der Lösungsmenge ein Parameter vor, dann ist die Lösungsmenge eine Gerade.

Kommen in der Lösungsmenge zwei Parameter vor, dann ist die Lösungsmenge eine Ebene.

Comments

Hören sie bitte auf ihre vorschläge sind gar nicht hilfreich .

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Wenn du meinen Vorschlag nicht verstehst, dann frag nach.

Mich aufzufordern aufzuhören ist anmaßend.

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@oswald (und @Tschaka)

Wenn ihr die Frage nicht versteht, solltet ihr auch nachfragen.

Es war eine simple Frage nach LAGEBEZIEHUNG (nicht nach Schnittgerade, nicht nach Schnittwinkel) gestellt.

Die Entscheidung zwischen parallel/schneidend/identisch ist mit wesentlich weniger Brimborium möglich.

@günther:

Vergleiche die Normalenvektoren der beiden Ebenen,

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Die Entscheidung zwischen parallel/schneidend/identisch ist mit wesentlich weniger Brimborium möglich.

Weniger Brimborium ist nicht unbedingt didaktisch sinnvoller. Meistens erfordert weniger Brimborium mehr Vorwissen. Und das fehlt ja oft bei den Leuten, die hier Fragen stellen.

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Es sieht aber so aus, als hättest du den Fragesteller mit deiner (weit über die Frage hinausgehende) Antwort überfordert.

Ja, ein "hören Sie auf" sagt man nicht unbedingt zum jemandem, der helfen will.

Aber aus dieser Reaktion spricht auch Verzweifelung, weil der Antwortgeber die eigentliche Frage irgendwie überlesen hat und deshalb die Antwort für den Fragesteller wenig hilfreich ist.

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Die Antwort geht nicht über die Frage hinaus. Die Unterscheidung zwischen einer Gerade als Schnittmenge und einer Ebene als Schnittmenge ist für die Lagebeziehung ausschlaggebend.

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Ausschlaggebend ist bereits, dass

\(\left(\begin{array}{c}3\\-4\\1\end{array}\right)\) kein Vielfaches von \(\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\) ist. Damit entfallen die Möglichkeiten "parallel" und "identisch".

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Womit wir wieder beim Vorwissen wären:

• Wie bestimmt man aus der Koordinatenform den Normalenvektor?
  
• Was macht man, wenn es doch Vielfache voneinander sind?

Da finde ich es einfacher, ein unterbestimmtes LGS zu lösen.

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Ja, da sind wir wieder beim Vorwissen.

Die Ebene 3x-4y+1z=1 hat ohne jedes -ich strapaziere den Begriff nochmal- Brimborium den Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \).

Ich kann verstehen, dass ein Schüler mit dieser Vorwissen sich von der unter diesen Bedingungen unnötigen Gleichungslösungsakrobatik erschlagen fühlt.

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Herr akabus sie sind Heldenhaft .

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Lass diese peinlichen Überhöhungen. Stelle lieber mal klar, was du an Vorwissen zur Lage von Ebenen hast.