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Aufgabe:

f(x) = x4- 6,25x2 + 9

g(x) = -4x2 + 9

Zeigen Sie: Im Intervall ]-1,5 ; 1,5[ gilt f(x) ≤ g(x)



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Aloha :)

Wir führen zunächst ein paar Äquivalenzumformungen durch:

$$\left.f(x)\le g(x)\quad\right|\;\text{einsetzen}$$$$\left.x^4-\frac{25}{4}x^2+9\le -4x^2+9\quad\right|\;-9$$$$\left.x^4-\frac{25}{4}x^2\le -4x^2\quad\right|\;+4x^2\text{ bzw. }+\frac{16}{4}x^2$$$$\left.x^4-\frac{25}{4}x^2+\frac{16}{4}x^2\le0\quad\right|\;\text{links ausrechnen}$$$$\left.x^4-\frac{9}{4}x^2\le0\quad\right|\;\text{links ausklammern}$$$$\left.x^2\left(x^2-\frac{9}{4}\right)\le0\quad\right|\;\text{links 3-te binomische Formel}$$$$\left.x^2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)\le0\quad\right.$$Da \(x^2\ge0\) ist, brauchen wir uns nun nur noch die Vorzeichen der beiden Klammern im Intervall \(]-1,5\,|\,1,5[\) anzusehen.

1. Fall: \(-1,5<x<0\)$$x^2\cdot\underbrace{\left(x-\frac{3}{2}\right)}_{\le0}\cdot\underbrace{\left(x+\frac{3}{2}\right)}_{\ge0}\le0\quad\checkmark$$2. Fall: \(0\le x<1,5\)$$x^2\cdot\underbrace{\left(x-\frac{3}{2}\right)}_{\le0}\cdot\underbrace{\left(x+\frac{3}{2}\right)}_{\ge0}\le0\quad\checkmark$$Die Bedingung dafür, dass \(f(x)\le g(x)\) gilt, ist in beiden Fällen erfüllt, d.h.$$f(x)\le g(x)\quad\text{für}\quad x\in]-1,5\,|\,1,5[$$Die Intervallgrenzen \(x=-1,5\) und \(x=1,5\) kann man sogar noch dazu nehmen, aber das ist in der Aufgabenstellung ja nicht verlangt.

Avatar von 152 k 🚀
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Berechne die Schnittpunkte von f und g. Untersuche die daraus resultierenden Intervalle.

$$f(x) = x^4- 6,25x^2 + 9~~~~;~~~~g(x) = -4x^2 + 9$$

\(\begin{aligned} f(x)&=g(x)\\[1mm] x^4- 6,25x^2 + 9&= -4x^2 + 9 \\[1mm] x^4- 2,25x^2 &=0\\[1mm] x_1=-1,5; x_2&=0; x_3=1,5\\[1mm] f(1)=f(-1)&=3,75\\[1mm] g(1)=g(-1)&=5\\[1mm] f(1)<g(1)~~ &;~~ f(-1)<g(-1) \end{aligned}\)


Da die Funktionen stetig sind, gilt die Behauptung.


Avatar von 47 k

Ich bin so vorgegangen:

x^4 - 6,25x^2 + 9 ≤ -4x^2 +9 | - (-4x^2 +9)

x^4 - 2,25x^2 ≤ 0

x^2 (x^2 - 2,25) ≤ 0

Ich erhalte dann:

x1/2 = 0

x3 = 1,5

x= -1,5

Leider weiß ich nicht, was ich ab hier machen soll...

Das sieht doch schon gut aus.

x^2 (x^2 - 2,25) ≤ 0

x^2(x-1,5)(x+1,5)≤0

Für x=0; x=1,5 und x=-1,5 gilt Gleichheit.

Für 0<x<1,5 ist x^2>0; x-1,5<0 und x+1,5>0.

Ein negativer Faktor ergibt ein negatives Produkt, also eine wahre Aussage.

Da f und g achsensymmetrisch sind, gilt die Aussage auch für -1,5<x<0.

Wieso gehören aber 1,5 und -1,5 nicht zum Intervall? Wenn man sie in die Gleichung f(x) ≤ g(x)  einsetzt, bekommt man eine wahre Aussage.

Stimmt. Das ist wohl in der Aufgabe so vorgegeben.

@Monty

Irgendwie ist deine Antwort schwer zu lesen.

@Wolfgang:

Im Firefox sah es gut aus, in Chrome nicht. Ich habe es jetzt so geändert, dass es in beiden stimmt.

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