Zweiten Punkt auf Kreis

Question

Hallo,

gegeben ist der Punkt A (Ax,Ay) und der Winkel Alpha. Welche Koordinaten hat der Punkt B (Bx,By)?

Ansatz:

Habe es mit der Sehnenformel und Einsetzen der Radiusformel versucht. Das ergibt aber einen sehr großen Term. Eventuell wäre ein Ansatz mit dem Einheitskreis zu rechnen.

Was würdet ihr vorschlagen, wie man das am geschicktesten macht?

Comments

gegeben ist der Punkt A (Ax,Ay) und der Winkel Alpha.

Weiß man auch noch etwas über den Kreis?

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Die Frage ist nicht zu beantworten, weil du weder zum Radius noch zum Mittelpunkt des Kreises Angaben gemacht hast.

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Der Kreis hat den Radius r und der Mittelpunkt ist im Ursprung.

Answer 1

Versuchen wir es doch einmal anders herum

Ein Punkt P_t auf dem Kreis K_(0,0),1 hat die Koordinaten

P_t = (sin(t ), cos(t))  t=0...2pi

P₀= (sin(0), cos(0)) =(0,1)

Wenn wir A nun "nach links" mit -ϕ/2 fahren und B "nach rechts" mit  ϕ/2 ))

A=(sin( -ϕ / 2), cos( -ϕ / 2))

B=(sin(ϕ / 2), cos( ϕ / 2))

dann haben wir einen Winkel ∠(BOA)=ϕ

Comments

Ok also Einheitskreis ist glaube ich ein guter Weg.

Am Ende wär es gut eine Formel zu haben für Bx = ... und By = ... in Abh. von r, alpha, Ax und Ay.

Muss man für Berechnungen mit dem Einheitskreis immer zunächst bestimmen in welchem Quadranten A liegt oder kann man eine allgemeine Formel herleiten?

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Nein, du kannst den Kreis beliebig verschieben

K= M + r (sin( ϕ ), cos( ϕ))

M=(1,3), r=1.5

\( \small A=(M+r(\sin ((-\phi) / 2), \cos ((-\phi) / 2)) \)

Du hast doch eine Formel ===> bestimme   ϕ   aus den Koordinaten von A

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ϕ ist doch gegeben, das ist alpha. Ich bräuchte eine Formel für Bx und By.

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Na dannn

B = M +  r (sin(ϕ/2),cos(ϕ/2))

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Evtl ist die Grafik etwas missverständlich, A und B sind nicht achsensymmetrisch zur y-Achse. A ist ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. B ist in einem Abstand mit dem Winkel alpha von A entfernt. Gibt es auch eine allgemeine Formel?

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Wenn Du Dir meinen Screenshot anschaust, wo ist da die y-Achse?

Die Formel ist allgemein für einen beliebigen Kreis. EIn Kreis ist definiert durch seinen Mittelpunkt M und seinen Radius r. Allgemeiner geht es nicht. Wenn Du einen Punkt auf einem Kreis angeben willst musst Du Mittelpunkt und Radius haben - wenn zudem A und ϕ gegeben sind, dann kannst Du B auch mit der Formel oben berechnen.

Du musst es halt auch tun. Vielleicht erstmal meine Lösung anwenden?

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Sorry ich versteh die Antwort nicht richtig.

B = M +  r (sin(ϕ/2),cos(ϕ/2))

Was bedeutet das für Bx und By?

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Scheint so...;-)

B_x = M_x + r sin(ϕ/2)

B_y = M_y + r cos(ϕ/2)

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Ok und für A gilt dann:

Ax = Mx + r sin(-ϕ/2)

Ay = My + r cos(-ϕ/2)

Wenn ϕ konstant ist, kommen doch immer die gleichen Werte raus für A und B.

Wie kommt man von A und B zu

Pt = (sin(t ), cos(t))  t=0...2pi

P0= (sin(0), cos(0)) =(0,1) ?

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>Wenn ϕ konstant ist, kommen doch immer die gleichen Werte raus für A und B.

Nur wenn sin(-ϕ/2) =sin(ϕ/2) und cos(-ϕ/2) = cos(ϕ/2) ist

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Wenn wir A nun "nach links" mit -ϕ/2 fahren und B "nach rechts" mit  ϕ/2 ))

A=(sin( -ϕ / 2), cos( -ϕ / 2))

B=(sin(ϕ / 2), cos( ϕ / 2))

dann haben wir einen Winkel ∠(BOA)=ϕ

Davon gehst du doch aus.

Willst du mir jetzt helfen oder mich hier als Dummkopf darstellen?

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>Willst du mir jetzt helfen oder mich hier als Dummkopf darstellen?

Was veranlasst Dich zu dieser Einschätzung?

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Also letzter Versuch:

Wenn

Ax = Mx + r sin(-ϕ/2)

Ay = My + r cos(-ϕ/2)

und ϕ und M konstant ist,

dann sind Ax und Ay immer gleich.

Das ist für mich keine allgemeine Lösung.

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Reden wir aneinader vor bei?

Erst soll A=B sein, OK - das ist der Fall bei ϕ=0

jetzt soll Ax=Ay sein? Kann sicher auch mal vorkommen...

Das kannst Du doch alles an einem konkreten Beispiel nachrechnen?

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Ja wir reden offensichtlich aneinander vorbei.

Wenn
Ax = Mx + r sin(-ϕ/2)
und ϕ und M konstant ist,
dann ist Ax immer gleich.

Und

wenn
Ay = My + r cos(-ϕ/2)
und ϕ und M konstant ist,
dann ist Ay immer gleich.

In deinen Beispielen sind die Punkte immer symmetrisch zu einer Gerade durch M parallel zur y-Achse. Wie wäre es wenn A im oberen linken Quadranten wär und b im unteren rechten Quadranten?

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Ein Lösungen wäre:
1) Koordinaten von A auf Einheitskreis umrechnen A' (Ax/r, Ay/r)
2) Mit A' (cos(beta), sin(beta)) -> Ax/r = cos(beta) den Winkel beta im Einheitskreis berechnen
3) B' berechnen mit (cos(beta + alpha), sin(beta+alpha))
4) B auf den Radius umrechnen B((cos(beta + alpha) * r, sin(beta+alpha) * r)

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Ah ja, jetzt weiss ich was Du meinst....

Nun das wird ohne Wenn Abfrage nicht gehen wegen periodizität der Winkelfunktionen oder rechnen in Polarkoordinaten.

Aus A den Winkel α=asin((Ax - Mx) / r) holen und dann ϕ draufrechnen bzw. um pi versetzt draufrechnen

M + r* If(y(A) > y(M),( sin(α+ϕ) , cos(α+ϕ) ),( sin(pi-α+ϕ) , cos( pi-α+ϕ)))

sieht dann so aus:

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Alles klar jetzt ham wirs :)

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If(Ay > My, α, pi - α)

Es muss glaube ich heißen: If(Ay > My, α, 2 * pi - α)

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Nee, das mach keinen Sinn mit 2pi bist einmal rum im Kreis - dann kannste 2pi auch weglassen - aber ich sehe da ist ein Klammerchen abhanden gekommen

M + r (sin(If(y(A) > y(M), α, π - α) + ϕ), cos(If(y(A) > y(M), α, π - α) + ϕ))

Ich trage oben eine neue Version ein - damit da was richtiges steht

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Ok also in meinem Code zählt es nach 180 nur richtig weiter, wenn man mit 2 pi rechnet.

angle = y > 0 ? Acos(x / r) : 2 * PI - Acos(x / r) ;

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Hm, kann sein, dass andere Grafikengines anders funktionieren.

Mit was/wo für codest Du?

Vielleicht würde es im Complexen ℂ diese Probleme nicht geben?

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Ja das kann sein, ist mit Java. Danke auf jeden Fall für die Hilfe !