Zusammengesetzte Körper mit Prozentrechnung

Question

Aufgabe:

 Gegeben sind ein gerader Kreiskegel und eine gerade quadratische Pyramide. Der Durchmesser des Kreiskegels ist genauso groß wie die Kantenlänge der Pyramide. Die Höhen beider Körper sind gleichgroß.

Problem/Ansatz:

… a. Berechne den Unterschied im Volumen beider Körper in Prozent.

b. Um wie viel verändern sich die Volumen beider Körper, wenn alle Längen halbiert werden. Gib den Wert in Prozent an.

c. Auf wie viel Prozent wird die gerade Pyramide im Vergleich zum Kreiskegel größer, wenn sich deren Größen auf das 1,5fache vergrößern, während die Maße des Kreiskegels unverändert bleiben?

Answer 1

d sei der Durchmesser der Kegelgrundfläche und die Seitellänge der Pyramidengrundfläche. h sei jeweils die Höhe.

V_Kegel=π/3·(d/2)²·h; V_Pyramide=1/3·d²·h

Unterschied im Volumen: 1/3·d²·h(1-π/4)

Anteil am größeren Volumen: 1-π/4≈0,2146

In %: 21,46%.

b) Wenn alle Längen halbiert werden, achtelt sich das Volumen. Der Prozentanteil bleibt unverändert.

c) Wenn dei Größen auf das 1,5fache vergrößert werden, wird das Volumen 1,5³=3,375 mal so groß.

Unterschied im Volumen: 1/3·d²·h(3,375-π/4)
Vielfaches des kleineren Volumens: 3,375-π/4≈2,59
In %: 259%.