quotienten raum vektoren linear

Question

Sei in V= R^3 der Unterraum U und vier Vektoren v_1,........v_4 wie folgt gegeben:

U=Lin{{1,-1,2}}, v₁={1,2,0}, v₂={4,-1,6}, v₃={4,2,4}, v₄={3,0,6}

Untersuchen Sie die folgende Fragen über Nebenklassen im Quotientenraum V_/U :

a.)Ist (v₁ +U)∩(v₂ +U) =∅?

b.)Sind die Nebenklassen v₂  +U und v₃+U linear unabhängige Vektoren in v_/Uund linear unabhängige Vektoren in

V_/U ?

c.)Bilden die Nebenklassen {(v₂ +U, v₃ +U, v₄ +U}} ein Erzeugendensystem von V_/U ?

Answer 1

Sei \(u=(1,-1,2)\)

Zu a)
\(v_2-v_1=(3,-3,6)=3u\in U\), also gilt \(v_1+U=v_2+U\).

Zu b)
Man bekommt \(2v_2-v_3=4u \in U\), d.h. \(2(v_2+U)-(v_3+U)=4u+U=U\).
\(v_2\) und \(v_3\) sind also modulo \(U\) linear abhängig.

Zu c)
\(\{v_2,v_3,v_4\}\) ist in \(V\) linear unabhängig, also aus Dimensionsgründen eine Basis
und damit insbesondere ein Erzeugendensystem. Damit ist auch das homomorphe
Bild \(\{v_2+U,v_3+U,v_4+U\}\) automatisch ein Erzeugendensystem des homomorphen
Bildes von \(V\), also von \(V / U\).