Aloha :)
Wir haben \(n\) Kugeln im Topf, davon sind \(x\) weiß. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel weiß ist, lautet daher \(\frac{x}{n}\). Wird die Kugel danach in den Topf zurückgelegt, ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug wieder weiß zu ziehen, genauso groß wie beim ersten Zug, also \(\frac{x}{n}\).$$\frac{x}{n}\cdot\frac{x}{n}=\frac{1}{16}$$Wird nach dem ersten Versuch die weiße Kugel jedoch nicht wieder zurückgelegt, fehlt im zweiten Versuch eine weiße Kugel. Wir haben also nur noch \((n-1)\) Kugeln im Topf und davon sind nur \((x-1)\) weiß. Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug wieder weiß zu kriegen, ist dann also \(\frac{x-1}{n-1}\).$$\frac{x}{n}\cdot\frac{x-1}{n-1}=\frac{1}{19}$$Aus der ersten Gleichung folgt:$$\frac{x}{n}\cdot\frac{x}{n}=\frac{1}{16}\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{x^2}{n^2}=\frac{1}{16}\;\;\Leftrightarrow\;\;n^2=16x^2\;\;\Leftrightarrow\;\;n=4x\quad(n,x>0)$$Aus der zweiten Gleichung folgt:$$\frac{x}{n}\cdot\frac{x-1}{n-1}=\frac{1}{19}\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{x^2-x}{n^2-n}=\frac{1}{19}\;\;\Leftrightarrow\;\;n^2-n=19(x^2-x)=19x^2-19x$$Wir wissen aber schon, dass \(n=4x\) sein muss, das können wir nun einsetzen:$$\left.n^2-n=19x^2-19x\quad\right|\;n=4x\text{ einsetzen}$$$$\left.(4x)^2-(4x)=19x^2-19x\quad\right|\;\text{links ausrechnen}$$$$\left.16x^2-4x=19x^2-19x\quad\right|\;-16x^2$$$$\left.-4x=3x^2-19x\quad\right|\;+4x$$$$\left.0=3x^2-15x\quad\right|\;:3$$$$\left.x^2-5x=x\quad\right|\;x\text{ ausklammern}$$$$x(x-5)=0$$Die Lösung \(x=0\) ist hier sinnfrei, uns interessiert die Lösung \(x=5\):$$x=5\quad;\quad n=4x=20$$
