Weiteres Beispiel zur Integration von Brüchen

Question

Aufgabe:

Habe bereits eine ähnliche Aufgabe gestellt, aber komme bei dieser ebenfalls nicht weiter. Kann mir jemand Tipps zur Vorgehensweiße bei Aufgaben dieser Art geben?

\( \int\limits_{0}^{4} \) \( \frac{x^3}{x^2 + 9} \)

Problem/Ansatz:

Da der Nenner im reellen Zahlenbereich keine Nullstellen hat, kann ich die Partialbruchzerlegung hier nicht anwenden oder?

Answer 1

Aloha :)

Der Trick \(\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C\) ist sehr nützlich ;)$$I=\int\limits_0^4\frac{x^3}{x^2+9}dx=\int\limits_0^4\frac{x^3+9x-9x}{x^2+9}dx=\int\limits_0^4\left(\frac{x^3+9x}{x^2+9}-\frac{9x}{x^2+9}\right)dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^4x\,dx-\frac{9}{2}\cdot\int\limits_0^4\frac{2x}{x^2+9}dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4-\frac{9}{2}\left[\ln\left|x^2+9\right|\right]_0^4$$$$\phantom{I}=\frac{16}{2}-\frac{9}{2}\left(\ln(25)-\ln(9)\right)=8-\frac{9}{2}\ln\left(\frac{25}{9}\right)\approx3,402569$$

Comments

warum muss ich hierbei bei der Substitution die Grenzen nicht ändern?

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Hier wurde an keiner Stelle klassisch substituiert.

Man hat lediglich 0 als 9x-9x geschreiben.

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Achso stimmt, habe bei meiner Rechnung x² + 9 durch z ersetzt, aber ist ja gar nicht nötig, danke!

Answer 2

Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad sollte man als erstes eine Polynomdivision machen. Dabei hilft dir

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

(x^3      ) : (x^2 + 9)  =  x  Rest  -9x 
x^3  + 9x
—————————
      - 9x

Also ist

f(x) = x^3 / (x^2 + 9) = x - 9x / (x^2 + 9)

Weil es günstig ist wenn sich die Ableitung vom Nenner im Zähler befindet zieht man den Faktor 9/2 vor den Bruch und erhält

f(x) = x - 9/2 * 2x / (x^2 + 9)

Diesen Term kann man jetzt ohne Probleme Integrieren

F(x) = 1/2 * x^2 - 9/2 * ln(x^2 + 9) + C

Answer 3

Hallo,

1.Substituiere  z= x^2+9

2. Allgemein gilt: (A-B)/C= A/C -B/C   ,spalte das Integral in 2 Integrale auf