Flächeninhalt mit Integral berechnen

Question

Gegeben: h: 1-\( \frac{1}{x²} \)        Nullstellen -1 und 1

Gerade g: -3

Gerade g schneidet h bei -0,5 und 0,5

Aufgabe: Inhalt der Fläche bestimmen welche h , g und die x-achse einschließen.

Problem/Ansatz:

Zuerst 3*1 dann hat hat man das in der Mitte. Dann fehlt nur noch der kleine Teil links und rechts.

Das dann + 2 * \( \int\limits_{0,5}^{1} \) (1-\( \frac{1}{x²} \)) =

Ab jetzt unterscheidet sich mein Ansatz von der Lösung

Man muss ja das im Integral aufleiten:

Bei mir: (x-\( \frac{1}{x} \))

In der Lösung: (x+\( \frac{1}{x} \))

Warum machen die aus einem Minus ein Plus?

Comments

was heißt das
Gerade g: -3 ???

Answer 1

Leite doch zur Probe mal DEINE Variante ab...

Answer 2

\(\dfrac{1}{x}=x^{-1}\) ableiten ergibt \(-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}\) .

Also ist \(+\dfrac{1}{x}\) eine Stammfunktion von \(-\dfrac{1}{x^2}\).

Es gibt also einen Vorzeichenwechsel.

Answer 3

Aloha :)

Du bist mit deiner Lösungsidee auf dem richtigen Weg. Ich habe uns die Situation mal geplottet.

~plot~ 1-1/x^2 ; -3 ; x=-0.5 ; x=0.5 ; [[-2|2|-4|1]] ~plot~

Du hast offenbar richtig erkannt, dass das Problem symmetrisch ist. Wir haben links von der \(y\)-Achse die Fläche \(0,5\cdot3\) für das Rechteck und dann noch das Stück zwischen Kurve und \(x\)-Achse:$$F_{links}=1,5+\left|\int\limits_{-1}^{-0,5}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx\right|$$Rechts von der \(y\)-Achse sieht es ähnlich aus. Die Fläche für das Rechteck ist wieder \(0,5\cdot3\) und auch die Fläche zwischen Kurve und \(x\)-Achse ist dieselbe wie links, aber mit anderen Integrationsgrenzen:$$F_{rechts}=1,5+\left|\;\int\limits_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx\right|$$Die Betragsstriche benötigen wir, weil das Integral unterhalb der \(x\)-Achse liegt und daher negativ ist. Die Fläche ist jedoch positiv. Wegen \(F_{links}=F_{rechts}\) ist die Gesamtfläche$$F=2\cdot\left(1,5+\left|\;\int\limits_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx\,\right|\right)$$Soweit hast du das auch. Dein Fehler liegt nun beim Integrieren selbst:$$\int\frac{1}{x^2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+\text{const}=-\frac{1}{x}+\text{const}$$Damit kommt für die Fläche raus:$$F=3+2\cdot\left|\,\left[1+\frac{1}{x}\right]_{0,5}^1\,\right|=3+2\left|2-3\right|=5$$