Flächeninhalt mit Integral berechnen

Question

Gegeben: h: 1-$\frac{1}{x²}$        Nullstellen -1 und 1

Gerade g: -3

Gerade g schneidet h bei -0,5 und 0,5

Aufgabe: Inhalt der Fläche bestimmen welche h , g und die x-achse einschließen.

Problem/Ansatz:

Zuerst 3*1 dann hat hat man das in der Mitte. Dann fehlt nur noch der kleine Teil links und rechts.

Das dann + 2 * $\int\limits_{0,5}^{1}$ (1-$\frac{1}{x²}$) =

Ab jetzt unterscheidet sich mein Ansatz von der Lösung

Man muss ja das im Integral aufleiten:

Bei mir: (x-$\frac{1}{x}$)

In der Lösung: (x+$\frac{1}{x}$)

Warum machen die aus einem Minus ein Plus?

Comments

was heißt das
Gerade g: -3 ???

Answer 1

Leite doch zur Probe mal DEINE Variante ab...

Answer 2

$\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ ableiten ergibt $-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$ .

Also ist $+\dfrac{1}{x}$ eine Stammfunktion von $-\dfrac{1}{x^2}$.

Es gibt also einen Vorzeichenwechsel.

Answer 3

Aloha :)

Du bist mit deiner Lösungsidee auf dem richtigen Weg. Ich habe uns die Situation mal geplottet.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1-1/x²f₂(x) = -3x = -0,5x = 0,5Zoom: x(-2…2) y(-4…1)

Du hast offenbar richtig erkannt, dass das Problem symmetrisch ist. Wir haben links von der $y$-Achse die Fläche $0,5\cdot3$ für das Rechteck und dann noch das Stück zwischen Kurve und $x$-Achse:$$F_{links}=1,5+\left|\int\limits_{-1}^{-0,5}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx\right|$$Rechts von der $y$-Achse sieht es ähnlich aus. Die Fläche für das Rechteck ist wieder $0,5\cdot3$ und auch die Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse ist dieselbe wie links, aber mit anderen Integrationsgrenzen:$$F_{rechts}=1,5+\left|\;\int\limits_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx\right|$$Die Betragsstriche benötigen wir, weil das Integral unterhalb der $x$-Achse liegt und daher negativ ist. Die Fläche ist jedoch positiv. Wegen $F_{links}=F_{rechts}$ ist die Gesamtfläche$$F=2\cdot\left(1,5+\left|\;\int\limits_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx\,\right|\right)$$Soweit hast du das auch. Dein Fehler liegt nun beim Integrieren selbst:$$\int\frac{1}{x^2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+\text{const}=-\frac{1}{x}+\text{const}$$Damit kommt für die Fläche raus:$$F=3+2\cdot\left|\,\left[1+\frac{1}{x}\right]_{0,5}^1\,\right|=3+2\left|2-3\right|=5$$