Geradengleichung.........

Question

Zeigen Sie dass der Punkt P(1,5|1,5|-0,5) auf der Geraden liegt, welche durch die Punkte F und D geht.

F(2|2|0)

D(0|0|-2)

Idee:

g:  \( \vec{x}  = \vec{OD}  + λ ·  \vec{DF} \)

DF (vektor) = (2-0|2-0|0-(-2))

-> g:  \( \vec{x}  = \begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix}+ λ · \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \)

So wenn ich jetzt den Punkt einsetze für g:x dann erhalte ich für lambda nicht das gleiche warum?

Answer 1

Aloha :)

Deine Geradengleichung stimmt. Wenn du da nun für \(\vec x\) den Punkt einsetzt, bekommst du:$$\left(\begin{array}{c}1,5\\1,5\\-0,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-2\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}\right)$$Aus den ersten beiden Gleichungen folgt:$$1,5=2\lambda\quad\Leftrightarrow\quad\lambda=0,75$$Aus der letzen Gleichung folgt:$$-0,5=-2+2\lambda\quad\Leftrightarrow\quad1,5=2\lambda\quad\Leftrightarrow\quad\lambda=0,75$$Passt alles. Da bei allen 3 Gleichungen dasselbe \(\lambda\) rauskommt, liegt der Punkt auf der Geraden.

Answer 2

So finde ich das persönlich deutlich einfacher:

DF = [2, 2, 0] - [0, 0, -2] = [2, 2, 2]
DP = [1.5, 1.5, -0.5] - [0, 0, -2] = [1.5, 1.5, 1.5]

DF und DP sind linear abhängig. Damit liegt P auf der Geraden durch D und F.