Geraden/Vektoren bitte um Hilfe

Question

Aufgabe:  Gegeben sind vier Punkte A(1/3/-2), B(-4/-2/4), C(10/0/-2) und D(3/3/3).
Geben Sie eine Parameterdarstellung einer Geraden g an, die durch die
Punkte A und B geht und einer Geraden h durch die Punkte C und D.
Welche Lage haben die Geraden g und h zueinander?

Problem/Ansatz:

Ich weiss echt nicht weiter, wie muss ich hier vorgehen ?

LG Robin

Comments

Sagen dir die Begriffe "Stützvektor" und "Richtungsvektor" etwas?

Answer 1

g: X = [1, 3, -2] + r·([-4, -2, 4] - [1, 3, -2]) = [1, 3, -2] + r·[-5, -5, 6]

h: X = [10, 0, -2] + s·([3, 3, 3] - [10, 0, -2]) = [10, 0, -2] + s·[-7, 3, 5]

Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, daher sind die Geraden windschief oder sie schneiden sich.

Gleichsetzen g = h

[1, 3, -2] + r·[-5, -5, 6] = [10, 0, -2] + s·[-7, 3, 5] → keine Lösung

Da es keine Lösung gibt, sind die Geraden windschief.

Answer 2

Aloha :)

$$g:\;\vec x=\vec a+s\cdot(\vec b-\vec a)=\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\-5\\6\end{array}\right)$$$$h:\;\vec x=\vec c+t\cdot(\vec d-\vec c)=\left(\begin{array}{c}10\\0\\-2\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\5\end{array}\right)$$Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig voneinander, d.h. die Geraden sind weder parallel noch sind sie identisch.

Wir prüfen noch, ob sich die beiden Geraden in einem Punkt treffen. Dann müsste das folgende Gleichungssystem eine Lösung haben:$$\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\-5\\6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\0\\-2\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\5\end{array}\right)$$$$s\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\-5\\6\end{array}\right)-t\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\0\\-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)$$$$s\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\-5\\6\end{array}\right)-t\cdot\left(\begin{array}{c}-7\\3\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\-3\\0\end{array}\right)$$Die letzte Gleichung liefert uns:$$6s-5t=0\quad\Rightarrow\quad5t=6s$$Das setzen wir ein und bekommen:

$$\left(\begin{array}{c}9\\-3\\0\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}-5\\-5\\6\end{array}\right)-5t\left(\begin{array}{c}-1,4\\0,6\\1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}-5\\-5\\6\end{array}\right)-6s\left(\begin{array}{c}-1,4\\0,6\\1\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{c}3,4\\-8,6\\0\end{array}\right)$$Wie erwartet passt die letzte Gleichung \(0=s\cdot0\), weil wir ja das \(t\) entsprechend gewählt haben. Aus der ersten Gleichung \(9=s\cdot3,4\) folgt \(s\approx2,65\) und aus der zweiten Gleichung \(-3=s\cdot(-8,6)\) folgt \(s\approx0,35\). Es gibt also kein Paar \(t,s\), das beide Gleichungen erfüllt. Daher haben die beiden Geraden auch keinen gemeinsamen Punkt. Sie sind windschief.

Answer 3

Geradengleichung im Raum g: x=a+r*m

a(ax/ay/az)=Stützpunkt (Stützvektor)

r=Geradenparameter,ist nur eine Zahl

m(mx/my/mz)=Richtungsvektor

A(1/3/-2) und B(-4/-2/4)

wir nutzen A(...) als Stützpunkt

a(1/3/-2) ist der Ortsvektor.Sein Anfang liegt im Ursprung des Koordinatensystems

Die Spitze des Vektors befindet sich im Punkt A(1/3/-2)

mit B(-4/-2/4)  gleichgesetzt  mit r=1

(-4/-2/4)=(1/3/-2)+1*(mx/my/mz)

x-Richtung: -4=1+1*mx ergibt mx=(-4-(-1))/1=-3

y-Richtung: -2=3+1*my ergibt my=(-2-3)/1=-5

z-Richtung: 4=-2+1*mz ergibt mz=(4-(-2))/1=6

Gerade von A(...) nach B(...)  x=(-4/-2/4)+r*(-3/-5/6)

bedeutet:von ax=-4  3 Einheiten auf der x-Achse in negativer Richtung

von ay=-2 5 Einheiten auf der y-Achse in negativer Richtung

von az=4 6 Einheiten auf der z-Achse in positiver Richtung

parallele Geraden:

1) x=a1+r*m1

2) x=a2+s*m2

die beiden Richtungsvektoren m1 und m2 liegen parallel,sind voneinander abhängig

m1*r=m2 oder (m1x/m1y/m1z)*r=(m2x/m2y/m2z)

sich schneidenen Geraden

g: x=a1+r*m1

h: x=a2+s*m2

gleichgesetzt  g:=h:

x-Richtung: 1) a1x+r*m1x=a2x+s*m2x

y-Richtung: 2) a1y+r*m1y=a2y+s*m2y

Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit 2 Unbekannte,r und s und 2 Gleichungen.

Gibt es einen Schnittpunkt,so sind alle 3 Gleichnungen mit r=.. und s=.. erfüllt

Gibt es keinen Schnittpunkt,so gibt es keine Lösung dieses Gleichungssystems