Stetigkeit von Funktionen

Question

Welche der folgenden Funktionen sind stetig? Welche sind stetig auf ihrem Definitionsbereich? Begründung der Antworten.

a) h(x) = 2x²+ 3x³+ 5x⁵

b) k(t)=(t²)/(t²-1)

c) l(t)=t(t+3)/(t+3)

d) m(x)=(x³-x+4)/(x³+1)

Lösungsvorschläge:

Eine stetige Funktion ist eine Funktion, deren Graph ohne Absetzen gezeichnet werden kann.
$$\lim _{ x\to x_{ 0 } } f(x)=f(x_{ 0 })$$

zu a) stetig.
zu b) unstetig, da Unstetigkeitsstelle bei 1.
zu c) unstetig, ist die Unstetigkeitsstelle bei -3.
zu d) unstetig, da Unstetigkeitsstelle bei -1 im Nenner.

Wie löst man das nun rechnerisch?

Muss man nur die einzelnen Funktionen in dieser Gleichung$$ \lim _{ x\to x_{ 0 } } f(x)=f(x_{ 0 })$$ einsetzen?
Und wie sieht es mit dem Definitionsbereich aus? Reicht es $$x∈ℝ$$ zu schreiben?

Answer 1

Ich muss jetzt auch mal noch was dazu schreiben.

JoytheCrow hat ja gesagt: "Mathematisch betrachtest du einfach den Limes von rechts und links an den jeweiligen Unstetigkeitsstellen..."

Welche Stellen soll man denn dann betrachten?

In der Aufgabe steht ja "stetig auf ihrem Definitionsbereich". Damit ist ja dann bei sicherlich b) \(\mathbb{R}\backslash \{1,-1\}\) gemeint. Und auf diesem Definitionsbereich ist die Funktion überall stetig.

Genauso bei c) und d). Die Stetigkeit von a auf ganz \(\mathbb{R}\) ist offensichtlich.


D.h. alle diese Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Comments

Hallo 10001000Nick1,

vielen Dank für deine schnelle Antwort. Da besteht also der Unterschied. Während die Aufgaben b) bis d) unstetig sind, sind alle gegebenen Funktionen a) bis d) auf ihrem Definitionsbereich stetig.

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Das, was du geschrieben hast, ist doch ein Widerspruch. Erst sind die Funktionen unstetig, dann auf einmal doch stetig.


Die Funktionen sind ja eben nicht unstetig. b), c) und d) haben nur (eine) Definitionslücke(n). Dort kann man aber gar keine Stetigkeit untersuchen, denn das geht nur an Stellen, an denen die Funktion definiert ist. Man könnte höchstens untersuchen, ob das hebbare Definitionslücken sind.

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Achso, dann muss es mir mein Banknachbar falsch erklärt haben. Zur Korrektur: Alle gegebenen Funktionen a) bis d) sind stetig. Und wie du bereits erwähnt hast, ist es bei a) eindeutig klar und bei b) bis d) haben die Funktionen Definitionslücken. Ich werde im Internet nach unstetigen Funktionen suchen, damit ich den Unterschied feststellen kann. Danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast und wünsche dir noch einen schönen Tag.

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Ja, so ist es richtig. Um es noch deutlicher zu machen, könnte man auch nochmal extra erwähnen, dass die Funktionen "auf ihrem gesamten Definitionsbereich" stetig sind.

Answer 2

Mathematisch betrachtest du einfach den Limes von rechts und links an den jeweiligen Unstetigkeitsstellen, dann kriegst du entweder unterschiedliche Limiten raus oder Werte von Unendlich

Comments

Hallo  JoeTheCrow,

vielen Dank für Deine schnelle Antwort.

Wenn ich zum Beispiel bei c) für t=-2,9 sowie t=-3,1 einsetze, dann kommt immer der Wert raus der für t eingesetzt wurde.

Unstetigkeitsstelle bei t=-3

Linksseitiger Grenzwert:
lim t(t+3)/(t+3)= Eingesetzte Zahl (z.B. -3,1)<-3
x→-3^-

Rechtsseitiger Grenzwert:
lim t(t+3)/(t+3)=Eingesetzte Zahl(z.B. -2,9)>-3

x→-3⁺

Ist das richtig? Und wie sieht es mit der Stetigkeit auf dem Definitionsbereich der Funktionen aus? Was muss man dort explizit angeben? Vielleicht x∈ℝ? 

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Schreibt man beim Definitionsbereich nur x∈ℝ?

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Ist x∈ℝ korrekt?

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wenn du bei c) scharf hinsiehst ist l(t)=t, da du kürzen kannst

mit dem Definitionsbereich ist vermutlich einfach gemeint, dass du alle x angeben sollt, für die die Funktion ein Bild hat

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Hallo JoeTheCrow,

das habe ich auch gesehen. Allerdings darf man hier nicht graphisch denken, da trotz streng monotoner Steigung der Funktion f(x)=x dreidimensionale "Löcher" sind, die sogenannten Unstetigkeitsstellen. Dank deiner und "10001000Nick1" 's Unterstützung konnte ich ein wenig Licht ins Dunkle bringen. Und wünsche dir ebenfalls noch einen schönen Tag.