Eine Division mit den Variablen X und Z scheint immer aufzugehen

Question

Nachdem ich mit meinem Bruder eMails ausgetauscht hatte, sind wir auf ein Phänomen gestoßen, von dem uns mal interessieren würde, ob das tatsächlich immer funktioniert und ob sich das beweisen läßt: Die Division

(Z^X - 1) / (Z - 1)

scheint immer aufzugehen, wenn Z und X natürliche Zahlen sind. Für X = 2 läßt sich das ja über die 3. Binomische Formel erklären, aber wie läßt sich das für X = 3 und höhere X-Werte erklären? Danke für Info!

Answer 1

Es Ist (Xⁿ-1)/(X-1)=X^n-1 +X^n-2 +...+X+1 für jede positive natürliche Zahl, X ist eine Varaiable.

Comments

Ich weiß zwar nicht, wie die Umwandlung zustande kommt, aber das erklärt auf jeden Fall, wieso die Rechnungen immer aufgehen.

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Führe die Polynomdivision aus, das sollte die Umformung in etwa ergeben:

(x^n - 1) : (x - 1) = x^{n-1} + (-x^{n-2}) + ...
-( x^n-x^{n-1} )
        -x^{n-1} - 1
        -(-x^{n-1} - -x^{n-2}) 
       ...

Vorzeichen?! ... Wahrscheinlich gibt es noch einen eleganteren Weg.

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Der elegantere Weg ist die Gleichung mit X-1 zu multiplizieren.

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Die Polynomdivision (x^n -1) / (x - 1) war mir nicht gelungen, aber dafür mit dem konkreten Fall (x^3 - 1) / (x - 1), was dann tatsächlich zu x^2 + x + 1 geführt hat. Wenn höhere Werte für n eingesetzt werden, werden die Reihen eben entsprechend länger. Danke nochmals.

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Führe die Polynomdivision aus, das sollte die Umformung in etwa ergeben:

(xⁿ - 1) : (x - 1) = x^n-1 + (x^n-2) + ... 
-( xⁿ-x^n-1 ) 
        +x^n-1 - 1 
        -(x^n-1  -x^n-2)  
       ...

Vorzeichen!  Stimmen jetzt.