Analysis differenzierbarkeit Ableitung

Question

Seien f , g : (a, b) → R zwei in einem Punkt x ∈ (a, b) differenzierbare Funktionen und λ ∈ R eine beliebige reelle Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Ableitung, dass gilt:

Wie löse ich diese Aufgaben?

a.) \( (\lambda \cdot f)^{\prime}(x)=\lambda \cdot f^{\prime}(x) \)
b.) \( (f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \)

Answer 1

Aloha :)

$$(\lambda\cdot f)'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\lambda\cdot f(x+h)-\lambda\cdot f(x)}{h}=\lambda\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lambda\cdot f'(x)$$

$$(f+g)'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}$$$$\phantom{(f+g)'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$$$$\phantom{(f+g)'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}$$$$\phantom{(f+g)'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)$$$$\phantom{(f+g)'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$$$\phantom{(f+g)'(x)}=f'(x)+g'(x)$$

Comments

Vielen Dank :) ist das auf die Aufgabe b) bezogen?

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Die erste Zeile ist Teil a)

Alle anderen Zeilen ist Teil b)