Differenzierbarkeit der 2-Norm ! Analysis 2

Question

Aufgabe:

In welchen Punkten des \( \mathbb{R}^{2} \) ist \( \|\cdot\|_{2}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \) total differenzierbar? bitte mit einer Begrundung!
Und die Berechnung der Ableitung in diesen Punkten.

Answer 1

Sei \(f(x)=||x||_2\). \(f\) ist stetig (jede Norm ist eine gleichmäßig stetige Abbildung). Dann ist \(\partial _j f(x)=\frac{x_j}{||x||_2}\).

\(f\) ist nicht differenzierbar in \(x=0\), denn:$$\partial _j f(0,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(0+te_j)-f(0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{|t|}{t}$$ exisitiert nicht, da der rechtsseitige Grenzwert 1 und der linksseitige Grenzwert -1 ergibt. Der Gradient ist \(\text{grad} f(x)=\frac{x}{||x||_2}\) für \(x\neq 0\).

Nachtrag:

Allgemein ist:

f stetig differenzierbar ⇔ f stetig partiell differenzierbar ⇒ f (total) differenzierbar ⇒ f partiell differenzierbar.