Taylorreihe berechnen und Konvergenzradius bestimmen

Question

Bekannte Gleichung benutzen
$$ \sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k}=\frac{x^{n}-1}{x-1} $$
,die für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{1\} \) und \( n \in \mathbb{N} \) gilt, um die Taylorreihe der Funktion
$$ f(x)=\frac{1}{1+x} $$
um die Entwicklungastelle \( x_{0}=0 \) zu berechnen.

Bestimmen Sie den Konvergenzradius.

Könnte mir da jemand helfen?

Ich habe zuerst die ersten vier Ableitungen gebildet, für die um x₀ folgende Ergebnisse herauskommen:

f(0) =1

f'(0) = -1

f''(0) = 2

f'''(0)= -6

f''''(0)= 24

Wie gehe ich nun weiter vor?

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe der der gegebenen Summenformel können wir folgende Rechnung anstellen:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-x)^k=\frac{(-x)^n-1}{(-x)-1}=\frac{(-x)^n-1}{-x-1}=-\frac{(-x)^n-1}{x+1}=\frac{1-(-x)^n}{x+1}$$Dabei haben wir einfach \(x\) durch \(-x\) ersetzt. Im Grenzüberguang \(n\to\infty\) finden wir:$$\sum\limits_{k=0}^\infty(-x)^k=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-(-x)^n}{1+x}$$Der rechte Grenzwert existiert nicht, falls \(|x|>1\) ist, denn dann divergiert \((-x)^n\). Er exisitert auch nicht für \(x=1\), denn dann alterniert \((-x)^n=(-1)^n\) und konvergiert nicht. Für \(x=-1\) wäre der Zähler zwar \(=0\), aber der Nenner wäre nicht definiert. Für \(|x|<1\) konvergiert \((-x)^n\to0\) und damit konvergiert die gesamte rechte Seite gegen \(\frac{1}{1+x}\). Damit haben wir die Potenzreihendarstellung gefunden:$$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-x)^k\quad;\quad|x|<1$$

Comments

Vielen Dank! :)

Also benötigt man die Ableitungen nicht um die polynomial zu berechnen, wenn man eine taylorreihe um einen bestimmten Entwicklungspunkt berechnen möchte?

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Und welche Kriterien benutze ich hier am besten in die Konvergenz rechnerisch zu bestimmen? Das Quotientenkriterium?

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Du hast schon Recht, normalerweise bestimmt man eine Taylorreihe mit Hilfe der Ableitungen. In dieser konkreten Aufgabe war jedoch vorgegeben, dass du die Taylorreihe für \(\frac{1}{1+x}\) mit Hilfe der Summenformel bestimmen sollst. Deswegen haben wir keine Ableitungen benötigt.

Rechnerisch kannst du den Konvergenzradius \(r\) wie folgt bestimmen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$Die \(a_n\) sind darin die Koeffizienten vor den \(x^n\). In unserem Fall also:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\underbrace{(-1)^n}_{=a_n}\cdot x^n$$Der Konvergenzradius ist daher:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^n}{(-1)^{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|-1\right|=1$$

Answer 2

Erst einmal nimmst du für deine Summe den grenzwert für \(n\to\infty\) und erhältst \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}\) dort, wo die Folge \(x^{n}\) konvergiert, also für \(|x|<1\).

Substituiere \(x\mapsto-x\) und du erhältst: \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^k = \frac{1}{1+x}\). Das ist bereits die Taylorreihe um \(0\), mittels des Quotientenkriteriums (oder ein paar Zeilen nach oben schauen) findest du schnell heraus, dass der Konvergenzradius \(1\) beträgt.

Comments

Das kann ich leider nicht ganz nachvollziehen...

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Kannst du etwas genauer werden, wo der Schuh drückt? Ich hatte nicht vor, dir alles vorzukauen, du sollst es ja schließlich am Ende selbst erarbeitet haben.