Urne mit x roten und 10 grünen Kugeln mit Erwartungswert 1

Question

ich knobel schon 20min an der Aufgabe und bräuchte Hilfe oder einen kleinen Hinweis.

In einer Urne befinden sich x rote und 10 grüne Kugeln. Es wird dreimal daraus eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Wie viele rote Kugeln sind in der Urne, wenn der Erwartungswert für die Anzahl der roten Kugeln 1 beträgt?

Mein Ansatz: Baumdiagram mit P(g)=10/x+10 und P(r)=x/x+10

Rechnung mit Erwartungswert=1:       1=x*x/x+10

                                                             x=3.70   Ist das richtig?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben \(x\) rote Kugeln und 10 grüne Kugeln. Die Wk eine rote zu ziehen ist daher:$$p_r=\frac{x}{10+x}$$Bei 3-maligen Ziehen mit Zurücklegen soll der Erwartungswert die Anzahl der roten Kugeln bei \(1\) liegen:$$1=3p_r=\frac{3x}{10+x}\quad\Leftrightarrow\quad10+x=3x\quad\Leftrightarrow\quad10=2x\quad\Leftrightarrow\quad x=5$$