Aufleitung von 2π ∫ 1/3x^3 √(1 + x^4/81) dx

Question

Aufleitung von:

\( 2\pi\int\limits_0^3\frac{1}{3}x^3\sqrt{1+\frac{x^4}{81}}\,dx \)

Grenzen von 0 bis 3.

Ich habe folgende Gleichung aufgestellt, um den Mantel zu berechnen. Jedoch komm ich nie auf die Lösung... Mein f(x) ist y  = 1/3x^3.

Answer 1

Aloha :)

$$I=2\pi\int\limits_0^3\frac{1}{3}x^3\sqrt{1+\frac{x^4}{81}}\,dx=\frac{2\pi}{3}\int\limits_0^3x^3\sqrt{1+\left(\frac{x}{3}\right)^4}\,dx$$Wir substituieren wie folgt:$$u:=\left(\frac{x}{3}\right)^4=\frac{x^4}{81}\;\;;\;\;u(0)=0\;\;;\;\;u(3)=1\;\;;\;\;\frac{du}{dx}=\frac{4x^3}{81}\;\Rightarrow\;dx=\frac{81\,du}{4x^3}$$$$I=\frac{2\pi}{3}\int\limits_0^1x^3\sqrt{1+u}\,\frac{81\,du}{4x^3}=\frac{27}{2}\pi\int\limits_0^1\sqrt{1+u}\,du$$Wir substituieren erneut:$$y=1+u\quad;\quad y(0)=1\quad;\quad y(1)=2\quad;\quad dy=du$$$$I=\frac{27}{2}\pi\int\limits_1^2\sqrt y\, dy=\frac{27}{2}\pi\int\limits_1^2y^{1/2}\, dy=\frac{27}{2}\pi\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_1^2=9\pi\left(2\sqrt2-1\right)\approx51,698$$

Comments

Ich verstehe das mit dem Substituieren irgendwie nicht. Geht das nicht mit einer partiellen Integration?

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Partielle Integration ist hier sehr sehr aufwändig, weil du das \(x^3\) ja bis zu einer Konstanten runterbrechen musst, also \(x^3\to3x^2\to6x\to6\). Dann diese fiese Wurzel dabei... Das ist eine Strafarbeit für jemanden, der Vater und Mutter erschlagen hat.

Mit der Substitution geht es hingegen recht einfach. Wenn du bei der Substitionsmethode unsicher bist, schau dir mal bitte das kurze Video an. Dann vergleiche das mit der Lösung von oben.

Wenn du dann noch Fragen hast, melde dich einfach nochmal ;)

Answer 2

Hallo,

Eine weitere Möglichkeit besteht darin , den Term unter der Wurzel zu substituieren.

Setze z= 1+ x^4/81