Extrem schwierige Aufgabe mit Wurzel -> Gleichung lösen

Question

Ich habe eine extrem schwierige Aufgabe mit einer Wurzel und komme einfach nicht drauf wie ich die aufgabe lösen könnte.

Die aufgabe lautet so: \( \sqrt[x+2]{100^(2x-1)} \) =\( \sqrt[x]{10^(5-x)} \)

In der Klammer steht 100^(2x-1) und 10^(5-x)

Vor der Wurzel steht x+2 auf der linken seite  und x auf der rechten.

Answer 1

$$\sqrt[x+2]{100^{2x-1}}=\sqrt[x]{10^{5-x}} \Leftrightarrow 10^{2(2x-1)\cdot \frac{1}{x+2}}=10^{(5-x)\frac{1}{x}}$$ Mit einem Exponentenvergleich reduziert sich das Problem auf:$$2(2x-1)\cdot \frac{1}{x+2}=(5-x)\frac{1}{x} \Longleftrightarrow 2x(2x-1)=(5-x)(x+2)$$ und damit \(x=-1\) oder \(x=2\) als mögliche Lösungen.

Comments

Müsste da nicht 10^2(2x-1)/x+2 stehen und auf der anderen Seite 10^(5-x)/x sein?

Wie kommen sie am ende auf 2x(2x-1)=(5-x)(x+2) den schritte davor hab ich nicht ganz verstanden.

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Also, du hast schon richtig erkannt, dass 100=10^2 ist.

Weiter gilt das Potenzgesetz (a^b)^c=a^(b*c).

Also schreiben wir:

100^((2x-1)/(x+2))=(10^2)^((2x-1)/(x+2)) und wenden das Potenzgesetz von oben an:

(10^2)^((2x-1)/(x+2))=10^(2*(2x-1)/(x+2))

Der Expontenvergleich:

Hast du zwei gleiche Basen, z. B. 10 und 10 und steht im Exponenten ein Ausdruck, der von x abhängt, z. B. (leichteres Beispiel) die Gleichung 10^(2x-1)=10^x, dann ist dieser Ausdruck gleich, wenn 2x-1=x <=> x=1. Setzen wir das oben ein, erhalten wir 10^(2*1-1)=10^1=10, gleichung erfüllt.

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wie kommt man ganz am ende auf die (x+2) ?

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Einfach kreuzweise multiplizieren.

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Wäre es möglich, wenn Sie es den Lösungsweg bisschen ausführlicher schreiben, damit ich es besser nachvollziehen kann?

Mfg

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was genau muss man da denn multiplizieren damit man auf (x+2) kommt ? und wieso verschwindet das 1/x+2 auf der linken seite und das 1/x auf der rechten?

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Es hat sich geklärt.

Answer 2

Exponenten der Wurzel umstellen als Nenner im Exponenten :

$$100^{\frac{2x-1}{x+2}}=10^\frac{5-x}{x}$$

logarithmieren:

$$\lg100 \cdot \frac{2x-1}{x+2}=\lg 10\cdot \frac{5-x}{x}$$

$$2 \cdot \frac{2x-1}{x+2}=1\cdot \frac{5-x}{x}$$

Gleichung mit den Nennern multiplizieren:

$$2 \cdot (2x-1 ) \cdot x=(5-x)\cdot (2x-1)$$

ab da ist nur noch Fleißarbeit.