Orthogonales Komplement (Analytische Geometrie/ Lineare Algebra)

Question

Hi, in der Vorlesung wurde das orthogonale Komplement/ der Senkrechtraum definiert:

Sei V⊆W, dann heißt \( W^{⊥} \) = { v∈V | b(v,w) =0 für alle w∈W} das orthogonale Komplement zu W (b ist eine Bilinearform auf V).

Dieses Komplement hat die Eigenschaft, dass für U, W ⊆ V: U⊆W => \( U^{⊥} \) ⊇ \( V^{⊥} \)

Die Implikation verstehe ich allerdings nicht, wenn U weniger mächtig als V ist, warum stehen dann mehr Vektoren aus V senkrecht auf U? In U gibt es doch viel weniger Möglichkeiten...

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

da steht doch U⊆W beide in Vm da U "kleiner" ist  als W, gibt es doch mehr zu U senkrechte Vektoren als zu W. einfaches Beispiel, V=R^3, U={(1,0,0)} W={(1,0,0),(0,1,0)} jetzt ist U^⊥={(0,1,0),(0,0,1)} ,  W^⊥={(0,0,1)}

Gruß lul

Comments

Also alle Vektoren senkrecht auf U sind natürlich auch senkrecht zu W, aber wäre es nicht möglich, dass es noch welche zu W gibt, die nicht in U sind?

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Hallo

 U ist in W enthalten, also sind alle zu U senkrechten Vektoren senkrecht zu Vektoren in W, deine Frage ist schwer verständlich.

Gruß lul

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Ah alles klar, Dankeschön :)