Einheitskugel Matrix+Norm

Question

ich verstehe an sich wie man im ℝ² Einheitskugeln zeichnet. Jedoch habe ich folgende Aufgabenstellung, bei der ich nicht verstehe was ich mit der Matrix machen soll. Wie kommt man da auf die Zeichnung?

Aufgabe:

A = \( \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \)

Man soll im  ℝ² die Einheitskugel folgender Norm zeichnen: ||x|| := ||Ax||_∞ 

Ich denke mal das hierbei die Maximumsnorm gemeint ist, die mit der Matrix A multipliziert wird.

Answer 1

Hallo,

die Einheitskugel besteht ja aus den Elementen \(x \in \mathbb{R}^2\), für die gilt: \(\| Ax \|_{\infty}<1\). Das wiederum bedeutet, dass die folgenden beiden Ungleichungen erfüllt sein müssen:

$$| \sqrt{3}x_1-x_2|<1 \qquad |x_1+\sqrt{3}x_2|<1$$

Zeichne also die beiden Bereich, für die die Ungleichungen erfüllt sind und der Durchschnitt ist dann die Lösung.

Gruß

Answer 2

Hallo,

kannst du ||x||_{∞} ,also ohne vorherige Anwendung von A zeichnen? Wenn nicht, google mal nach p-normen.

Die Matrix A ist eine Drehmatrix. Überlege dir also, um wieviel Grad die Drehung erfolgt und wie sich das auf die Zeichnung der Norm auswirkt.

Comments

Was gilt für die Determinante einer Drehmatrix?

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Guter Hinweis, dass ist keine reine Drehung, da die Determinante 4 ist. Vermutlich ist es eine Drehstreckung.

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Interessant auch die Frage, warum es keine Spiegelung ist.