Die Wendetangente an den Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades im Punkt P\((\green{0}|1)\) besitzt die Steigung \(m= -24\). Hoch- und Tiefpunkte der Funktion liegen jeweils \(\red{2}\) Einheiten von der y-Achse entfernt.
Ich setze vorerst mal den Tiefpunkt auf die x-Achse. Hier ist nun eine doppelte Nullstelle und mache weiter mit der Nullstellenform einer ganzrationalen Funktion 3.Grades.
\(f(x)=a(x-\red{2})^2(x-N)\)
Die Steigung der Wendetangente bei \(x=\green{0}\) ist \(m= \blue{-24}\).
Ableitung von \(f(x)=a(x-\red{2})^2(x-N)\)
\(f'(x)=a[(2x-2\cdot \red{2})(x-N)+(x-\red{2})^2\cdot 1]\)
\(f'(\green{0})=a[(-2\cdot \red{2})(-N)+(-\red{2})^2]= \blue{-24}\)
\(a=-\frac{6}{N+1}\)
\(f(x)=-\frac{6}{N+1}(x-2)^2(x-N)\)
Stelle des Hochpunktes ist bei \(x=-2\) Dort ist eine waagerechte Tangente.
\(f'(-2)=-\frac{6}{N+1}[(-4-2\cdot 2)(-2-N)+(-2-2)^2]\)
\(f'(-2)=-\frac{6}{N+1}[(-8)(-2-N)+16]\)
\(-\frac{6}{N+1}[(-8)(-2-N)+16]=0\)
\(N=-4\)
\(a=-\frac{6}{-3}=2\)
\(f(x)=2(x-2)^2(x+4)\)
Nun soll P\((\green{0}|1)\) auf dem Graphen liegen
\(f(0)=2(0-2)^2(0+4)=32\) Also muss ich nun \(f\) um 31 Einheiten nach unten verschieben.
\(p(x)=2(x-2)^2(x+4)-31\)
