Lokalen Extremstellen einer Funktion

Question

Wie kann ich alle lokalen Extremstellen dieser Funktion bestimmen? Wie bestimme ich die Parameterwerte, für welche die Funktion kein lokales Extremum hat?

reellen Parameter a, a ≠ 1

f(x,y) = ay² + x² + 2xy + a  

Vielen Dank

Gruss Domi

Answer 1

Hast du schon mal an die Verwendung der partiellen ersten Ableitungen gedacht?

Comments

Nein, wie muss ich dafür vorgehen?

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Bilde diese Ableitungen und setze sie Null.

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Ich habe es probiert, aber ich glaube das geht nicht.

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Was meinst du damit? Besitzt die Funktion keine Ableitungen oder haben die Ableitungen keine Nullstellen?

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Ich bekomme keine partielle Ableitung hin.

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Ich habe folgende Partielle Ableitungen erhalten.

fx'(x,y) = 2(x+y)

fx''(x,y) = 2

fy'(x,y) = 2(ay+x)

fy''(x,y) = 2a

1. Ableitung Null setzen

fx'(x,y) = 0
Nustelle bei x1=−y
fx''(x,y) = 2 > 0; es liegt ein Tiefpunkt vor

fy'(x,y) = 0
Nustelle bei  y1= - x/a
fy''(x,y) = 2a >0, es liegt ein Tiefpunkt vor

Ist das wirklich die Lösung? Ich glaube eher nicht.

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Ein Extrempunkt kann nur dann vorliegen. wenn BEIDE partiellen ersten Ableitungen Null sind.

Für solche Punkte muss also gelten:

2(x+y)=0

UND

2(ay+x)=0

Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.

Du hast aus der ersten Gleichung richtig x=-y erhalten. Damit brauchst du in der zweiten Gleichung das x vorerst nicht mehr, denn du kannst es durch -y ausdrücken.

Die zweite Gleichung bekommt damit die Form

2(ay-y)=0

y(a-1)=0.

Das gilt für den Sonderfall a=1 immer (aber der ist laut Voraussetzung ausgeschlossen), für den allgemeinen Fall nur, wenn y=0 ist

Da wir x=-y erhalten hatten, muss dann auch x=0 gelten.

Der einzig mögliche Extrempunkt ist somit (x,y)=(0,0).

Jetzt kannst du da mit den zweiten Ableitungen drauf hauen, um die mögliche Art des Extremums (falls es eins ist) zu bestimmen.

@ alle anderen: Wenn ich mal ein paar Stunden nicht da bin:  Warum geht ihr alle in Deckung? Selbst diejenigen, die normalerweise jeden Versuch von mir, Fragesteller im Rahmen ihrer Möglichkeiten zur Mitarbeit zu bewegen, durch das Liefern von Komplettlösungen sabotieren, tun plötzlich NICHTS? Er hat 8 Stunden auf Hilfe gewartet!

Leute, hier gibt es die Chance auf PUNKTE!

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Übrigens: in einem anderen Thread wurde ein gleichlautender Nachsatz wie der oben stehende gelöscht. Dieser hier ("@ alle anderen:...") ist noch da.

Wer hat da geschlafen?

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Vielen Dank.

Jetzt hab ich es nochmals nachvollzogen und habe begriffen was ich machen muss.

Ich bin zum Schluss gekommen, dass auch bei P(0,0) kein Extrempunkt vorliegt, sondern nur ein kritischer Punkt. Nämlich ein Sattelpunkt.

Gruss Domi

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Ob es ein Sattelpunkt oder ein Minimumpunkt ist, hängt von der Wahl von a ab!

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Okay und das schreibe ich einfach so hin? Oder wie muss ich das angeben?

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Hast du da nicht so eine Matrix kennengelernt, mit der man die Art der kritischen Punkte herausfindet?

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Doch die Hesse-Matrix, daraus haben ich das charakteristische Polynom und den Eigenwert bestummen. So bin ich zum Schluss gekommen, dass ein Sattelpunkt vorliegt.

 

Als kritische Stelle bleibt P(0,0) übrig.

Zum Bestimmen der Definitheit muss zuerst die Hesse-Matrix
bestimmt und anschliessend der Eigenwert berechnet werden.

Hf(x,y)\( \begin{pmatrix} fxx'' & fxy'' \\ fyx'' & fyy'' \end{pmatrix} \)

Hf(x,y)\( \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2a \end{pmatrix} \) 

Daraus das charakteristische Polynom bestimmen

P_A(λ) = -2aλ + 4a + λ² -2x - 4

Eigenwerte

-2aλ + 4a + λ² -2x - 4  = 0
λ₁= \( \sqrt{a^2-2*a+5} \)+a+1
λ₂= -\( \sqrt{a^2-2*a+5} \)+a+1 

Somit liegt ein positiver und ein negativer Eigenwert vor.
Die Matrix ist somit indefinit. P(0,0) ist also ein kritischer Punkt
(Sattelpunkt), aber kein Extrempunkt.

Gruss Daniel

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Somit liegt ein positiver und ein negativer Eigenwert vor.

Woher nimmst du die Weisheit, dass FÜR JEDES a ein positiver und ein negativer Wert vorliegt????

Hier

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3y%5E2+%2B+x%5E2+%2B+2xy+%2B+3+

wird für das Beispiel a=3 angezeigt, dass bei (0|0) ein Minimum vorliegt.

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Hallo

Ich habe auch gemerkt, dass die Weisheit eher Dummheit war.

Für a>1 liegen zwei positive Eigenwerte vor und bei a<1 liegt ein positiver und ein negativer Eigenwert vor.

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Auch wenn es eine schwere Geburt war und dich meine verhaltene Hilfsbereitschaft vermutlich genervt hat -  letztendlich hast du es aus eigener Kraft gepackt. Mach weiter so.

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Hallo

Nochmals vielen herzlichen Dank. Nein deine "verhaltene Hilfsbereitschaft" hat mich gar nicht genervt. Sondern dass war genau richtig! Du machst das super.