Wir betrachten nilpotente Matrizen.
a) Gegeben sei die Matrix
$$ A:=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \in M\left(4 \times 4, \mathbb{Z}_{2}\right) $$
Hierbei ist \( \mathbb{Z}_{2}:=(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z},+, \cdot) . \) Bestimmen Sie alle Potenzen \( A^{k} \) mit \( k \in \mathbb{N} \) von \( A \) sowie den Nilpotenzindex von \( A \)
b) Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper und \( A \in M(n \times n, \mathbb{K}) \) eine strikte obere Dreiecksmatrix, also
$$ A:=\left(\begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & a_{n-1, n} \\ & & & 0 \end{array}\right) $$
mit Nullen auf und unterhalb der Hauptdiagonalen. Beweisen Sie, dass \( A^{n}=0 \)
Hinweis: Beweis per Induktion.
