Gruppenaxiome bei der Verknüpfung (ab)^2=a^2•b^2 für alle a,b ∈ G

Question

Es geht bei der Aufgabe um die Gruppe mit der Verknüpfung (ab)²=a²b² für alle a,b ∈ G

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie die Verknüpfung für 3 Elemente aussieht, wodurch ich nicht weiß, wie ich die Assaoziativität zeigen kann.

Kann mir dabei jemand helfen?

Comments

wie ich die Assaoziativität zeigen kann

Dann zeige Kommutativität (was nämlich vermutlich die Aufgabe ist).

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Ja, wir müssen halt alle Gruppenaxiome einer abelschen Gruppe zeigen, wenn sie denn abelsch ist. Aber wenn mathef recht hat, fällt der Teil ja eh weg, weil es keine Gruppe ist, da es nicht assoziativ ist.

Answer 1

Ich interpretiere mal: Es hört sich so an, als sei gegeben eine Gruppe

G mit einer Verknüpfung (mal) ich schreibe mal * also Gruppe (G,*) .

Nun wird für die gleiche Menge G eine andere Verknüpfung ( sagen wir mal ∇ ) definiert durch

 a∇b = a^2 * b^2 ,

Dann ist es bei dreien  (a∇b) ∇ c = (a∇b)^2 * c^2 = (a^2*b^2)^2 * c^2  und es bleibt zu zeigen

  (a∇b) ∇ c  =   a ∇  ( b∇ c ) .    Das ist aber nicht der Fall, also ist das neue Gebilde

keine Gruppe.

Comments

Danke für deine Antwort, so habe ich das auch interpretiert. Da stand halt nur, dass G eine Gruppe mit der oben genannten Verknüpfung ist. Ich war mir nur unsicher ob das so richtig ist. Am Ende hatte ich dann folgendes raus: ((ab)²c)²=(a²b²c)²=a⁴b⁴c² ≠ a²b⁴c⁴=(ab²c²)²=(a(bc)²)²

Was ja aber das gleiche ist wie oben in deiner Antwort.