Wie ermittle ich das Integral von 1/(1+x^2)?

Question

Eins vorweg, ich kenne die Lösung und den Rechenweg, um die Lösung zu erhalten. Meine Frage ist aber eine ähnliche.

Um eine Stammfunktion des Integrals zu erhalten setzte ich x = tan(u) und habe dann das Differenzial gebildet und du eingeführt. Diese Methode verwenden, wie ich hörte, eher die Physiker und Ingenieure und sei mathematisch nicht so gerne gesehen. Ich weiß nicht, ob das stimmt. Aus diesen Grunde, habe ich jetzt die exakte Definition angewendet, aber in diesem Beispiel weiß ich nicht, wie das angewendet wird.

Kann mir jemand bitte helfen?

LG

Comments

Hallo,

Da würde ich mir keinen "Kopp" machen. Nach meiner Meinung handelt es sich um ein Grundintegral, das man einfach kennt. Da gibt es auch nichts auszurechnen, denn auf die Substitution kommt ja nur wer die Lösung kennt.

Gruß

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Danke, aber mich würde es trotzdem interessieren, ob dies möglich wäre.

Eine andere Frage : Sind Sie ein YouTuber?

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Bin kein YouTuber

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Ok, ein Youtuber hieß so wie ihr Nutzername.

Aber zurück zur Frage : Ist dies prinzipiell möglich, dieses "Grundintegral", streng nach der Substitutionregel umzuformen oder muss ich die "Physiker" Methode anwenden?

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Hallo

was meinst du mit "exakter Definition"? Substitution ist doch "exakt", und dass ein Integral richtig gelöst ist, darf auch ein Mathematiker raten soviel er will, wenn die Ableitung mit dem Integranden übereinstimmt. Wie man auf ein Integral kommt ist einem Mathematiker sicher egal.

Gruß lul

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Wenn ich z.b folgendes Integral habe:

integral(e^2x dx) = 1/2 integral( 2 e^(2x) dx) mit u = 2x

= 1/2 integral ( e^u du) = 1/2 e^(2x) + C

Man hätte ja aber auch du/dx = 2 und umformen können, aber das möchte ich eben nicht machen. Das wird immer kritisiert.

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hallo

" Das wird immer kritisiert."

 kannst du das genauer sagen? ich hab das noch nie als Kritik gehört, Man muss diese Methode nur einmal klar als richtig zeigen, dann verwenden sie alle M., die ich kenne.

Gruß lul

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Im Wikipedia-Artikel "Integration durch Substitution" steht:

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen.

Dass es eine bei Physikern beliebte Methode ist, die mathematisch nicht ganz korrekt wäre, habe ich noch nicht gehört.

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Darf ich hier YouTube Videos verlinken?

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Es geht hier um diese Notation:

$$ u = 2x \implies \frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} = 2 \implies \frac{1}{2} \textrm{d}u = \textrm{d}x $$

vgl. z.B. https://math.stackexchange.com/questions/47092/physicists-not-mathematicians-can-multiply-both-sides-with-dx-why

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Das war schon vor Jahren bei Pysikern sehr beliebt. Vor 40 Jahren gab es Mathematiker, die der Meinung waren, dass das dy/dx nur ein Symbol sei, und das dieses nicht auseinander gerissen werden dürfte. Als ich damals also vor 40 Jahren meinen Matheprof darauf ansprach, sagte dieser, dass es Funktionen gäbe, bei der das der Fall sei, dass es aber mittlerweile eine Theorie der Mathematiker gäbe, die Aussagen darüber liefert, wann man es darf und wann nicht. Wie gesagt, das war vor 40 Jahren und in der Physik gab es nur Funktionen, bei denen es ging. Darum hatte ich mich damit nicht weiter beschäftigt und kann leider auch keine Funktion angeben, bei der es nicht geht.

Answer 1

Das was Du als "immer kritisiert" bezeichnest, ist die Wahnvorstellung vieler Physiker und aller Techniker, \( {dy\over dx} \) als Bruch anzusehen, mit einem Zähler und Nenner, welchen Du auflösen kannst, obwohl seit bald 400 Jahren in jedem Mathematikbuch steht, dass es eben *kein* Bruch, sondern nur ein Symbol ist.

Korrekt gilt für

$$ I = \int {1 \over x^2+a^2} dx $$

die Substitutionsformel:

$$ \begin{aligned}\int_a^b f(x) dx &= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f (\phi(t)) \phi'(t) dt \cr x &= \phi(t) \cr \end{aligned} $$

mit

$$ \begin{aligned} \phi^{-1}(x) &= t = \arctan({x\over a}) \cr \phi(t) &=  x = a\tan t \cr \phi'(t) &  = {a\over \cos^2 t} = a\tan^2 t+a \cr \end{aligned} $$

Und damit:

$$ \begin{aligned} I &=        \int {1 \over x^2+a^2} dx \cr   &=        \int {1 \over (a\tan t)^2+a^2}*(a\tan^2 t+a) dt \cr   &= {1\over a} \int {1 \over \tan^2 t+1}*(\tan^2 t+1) dt \cr   &= {1\over a} \int 1 dt \cr   &= {1\over a}*t \cr   &= {1\over a}\arctan({x\over a}) \cr \end{aligned} $$

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Und eine weitere verbreitete Unsitte von Ingenieuren (und etwas, wofür man Dich auf der Universität völlig zurecht verprügeln würde) ist der Wahn, man könne den Integranden einfach weglassen (siehe Werner-Salomon):

$$ \int du = \dots $$

Comments

Genau das meinte ich. Vielen Dank.

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Nur noch eine kleine Frage. Was wurde den in der dritten Zeile, im Absatz "Und damit" gemacht? Wurde hier die Substitutionsregel angewendet, um das Integral zu vereinfachen?

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In der zweiten Zeile wird aus \( f(x) \) immer ein \( f(\phi(t)) \) gemacht, d.h. jedes \( x \) wird durch \( \phi(t) \), also \( a \tan(t) \) ersetzt.

In der dritten Zeile wird einfach nur \( a \) ausgeklammert, gekürzt und vor das Integral gestellt.

In der vierten Zeile lässt sich dann der ganze Bruch auf \( 1 \) kürzen.

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Ich verstehe das kürzen nicht.

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Dann schau genau hin. Du kannst aus dem Nenner ein \( a^2 \) und aus dem Zähler ein \( a \) herausziehen.

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Aber wie wurde aus (a*tan²(x)+1)/(a*tan²(t)+1), ein 1 dt?

Das verstehe ich nicht...

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Weil das ein Tippfehler ist und das \( x \) ein \( t \) sein soll. (Ich habe es oben ausgebessert.)

Aber ein dezenter Hinweis an Dich:

Das hätte Dir auffallen müssen, weil schon oben \( \phi(t) \) bzw. \( \phi'(t) \) kein \( x \) enthalten dürfen. Und ich kenne einen Professor, der hätte Dich jetzt durchfallen lassen, weil von einem Mathematiker erwartet werden muss(!), dass er Rechnungen nachprüft und nicht gehirn- und kritiklos alles hinnimmt.

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Da müssen Sie sich wirklich keine Sorgen machen, da ich das schon bemerkt hatte, aber ich korrigiere nicht gerne Personen, vor allem nicht die,die mir geholfen haben.

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Wie Du siehst, sind auch diese Leute nicht perfekt; nachfragen (auch zweifeln und hinterfragen) ist immer sinnvoll.

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Sie stellen mich vor einer Herausforderung.

Answer 2

Hallo,

wenn man ein Integral vor sich hat und gar nicht weiß, wie man es lösen soll, fallen mir zwei Möglichkeiten ein.

1.) Ich kann es nummerisch lösen. Das hilft zumindestens wenn man - z.B. als Ingenieur - ein konkretes Problem hat. Mit Hilfe des Computers bekommt man eigentlich immer einen brauchbaren Wert heraus. Aber das ist wohl nicht Deine Frage.

2.) Man berechnet die Taylorentwicklung und integriert diese. Die Taylorreihe von \(1/(1+x^2)\) ist $$\frac 1{1+x^2} = 1- x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \dots = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}$$das zu integrieren ist keine Kunst$$\int \frac1{1+x^2} \, \text dx = x - \frac 13 x^3 + \frac 15 x^5 - \frac 17 x^7 + \dots + C$$Und nun heißt es suchen! Welche Taylorreihe welcher Funktion sieht so oder so ähnlich aus oder lässt sich ggf. so anpassen oder kombinieren, dass obiges heraus kommt.

Und fündig wird man bei \(\arctan(x)\)  - siehe Reihenentwicklung des Arcus Tangens.

Gruß Werner

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Danke, aber meine Frage war eher wie ich es mit der Integration durch Substitution lösen könnte.

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Ich hatte Deine Frage so verstanden, dass Du genau das nicht tun wolltest, da es 'kritisiert' wird. Wie Du Dich ausgedrückt hast. Aber bitte: es sei \(x = \tan(u)\). Leite nach \(u\) ab$$\frac{\text dx}{\text du} = 1+ \tan^2(u) \implies \text dx = (1+ \tan^2(u)) \text du$$Einsetzen in das Integral$$\int \frac 1{1+x^2} \,\text dx = \int \frac {1+\tan^2(u)}{1+\tan^2(u)} \,\text du = \int \text du = u + C$$lt. Substitution ist \(u= \arctan(x)\)also $$\int \frac 1{1+x^2} \,\text dx =  \arctan(x) + C$$

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Genau so wollte ich es ja nicht machen, sondern eher wie oben.

integral(e^2x dx) = 1/2 integral( 2 e^(2x) dx) mit u = 2x

= 1/2 integral ( eu du) = 1/2 e^(2x) + C

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Ich verstehe langsam, um was es geht ;-)

1/2 integral( 2 e^(2x) dx) mit u = 2x

genau hier muss man nun aber klären, wie man von dem \(\text dx\) auf das \(\text du\) kommt.

Da ich ein Techniker mit Wahnvorstellungen bin ;-) ist dies recht einfach. Ansonsten siehe Antwort von mllmaa.

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Das freut mich :). Danke an alle!

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,Integralrechnung,besondere Integrale

Integral(1/(x²+a²)*dx=1/a*arctan(x/a)

Integral(dx/(x²+1²)=1/1*arctan(x/1)=arctan(x)+C

Comments

Inwieweit sollte diese "Antwort" der Fragestellerin bei ihrem konkreten Problem weiterhelfen?

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Das ist die Endlösung und keine Herleitung.

Herleitungen werden in der Praxis nicht gebraucht und sind nur Beschäftigungstherapie für Pauker.

Kein Ingenieur rechnet so was in Handarbeit.

Wer bezahlt denn eigentlich den ganzen Arbeitsaufwand ?

Ich rechne mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) Flächen aus,die mathematisch gar nicht bestimmbar sind

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Diese Personen nennen sich "Lehrer" und nicht "Pauker".

Das ist auch keine Beschäftigungstherapie für Lehrer, sondern höchstens für Schüler.

Aber hier geht es darum, dass Schüler Methoden und Vorgehensweisen (richtig!) lernen und begreifen und üben müssen.

Dass Ingenieure so etwas nicht für nötig halten, sieht man ja ununterbrochen an deren Ergebnissen, wovon Berlin oder Stuttgart ganz sicher keine "Einzelfälle", sondern nur die Spitze des Eisberges an völliger Inkompetenz darstellen.

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Das ist ein typischer Fall von "denkste".

Bis zu 80%,was die Schüler lernen,wird später nie wieder gebraucht und wenn man den volkswirtschaftlichen Schaden mal ausrechnet,dann geht das in die hunderte von Milliarden Euro.

In Kanada ist ein Student so 1 bis 2 Jahre schneller fertig.als ein Student in Deutschland.

Deutschland hat die ältesten Studenten und das sind mindestens pro Student 50000 Euro Schaden.

Ich habe vor über 25 jahren das Arbeiten eingestellt,weil man mir keinen anständigen Lohn bezahlt hat,aber ich sollte jedes Jahr 20000 D-Mark zahlen,nur für das Existensminimum.

Alleine 10000 Euro Miete.

1945 war der Krieg zu Ende.1955 waren fast alle Wohnungen wieder aufgebaut und dann kamen wieder die Bürokraten und wollten Baugenehmigungen sehen.

Die Leute hatten natürlich keine Baugenehmigung.

Folge:Haus wieder abreissen und wieder teuer neu bauen.

Heute arbeiten in Deutschland an die 20 Millionen lebenslänglich und das ohne jemals Eigentum erarbeiten zu können.

Haus bauen nach den Krieg war möglich für kleine leute

Haus bauen heute nach 75 Jahren für kleine leute nicht mehr möglich

3 Millionen oder mehr Leute im Beamten- und Verwaltungsapparat,die eigentlich gar nicht gebraucht werden,aber durchgefüttert werden müssen.

Nennt man im Volksmund "Wasserkopp".