Punktprobe bei Geraden in der Vektorgeometrie: Parameterwert

Question

Im Buch bei uns steht, dass wenn man die Punktprobe für P macht und der Wert 0,5 rauskommt, der Punkt auf der Geraden liegt. Es muss als Parameterwert etwas zwischen 0 bis 1 liegen, damit es auf der Geraden liegt. Danach sollte man gucken, ob der Punkt P auf der Strecke AB liegt, indem man ein Parametervergleich macht.

Ich hab jetzt ein neue neue ähnliche Aufgabe. Bei mir ist dann beim LGS für r alle 3 = -1 rausgekommen. Heißt das, es liegt nicht auf der Geraden oder liegt es auf der Geraden weil im Buch stand es muss was zwischen 0 bis 1 rauskommen? Oder was das nur in dem Fall so?

Answer 1

Damit P auf der Geraden durch AB liegt muss es ein r geben welches die Vektorgleichung erfüllt.

A + r * AB = P

Damit P auf der Strecke von A nach B liegt muss neben der obigen Bedingung gelten dass r im Intervall von 0 bis 1 liegt.

Also damit ein Punkt auf der Geraden liegt muss der Parameter noch nicht im Bereich von 0 bis 1 sein. Damit der Punkt auf der Strecke liegt dafür aber schon.

Wenn du also ein r = -1 heraus hast dann liegt der Punkt auf der Geraden durch A und B allerdings nicht auf der Strecke von A bis B.

Comments

Aber AB-Strecken sind nicht immer von 0 bis 1 oder?

Und wenn ich beim LGS davor unterschiedliche Parameterwerte rausbekomme, liegt es natürlich nicht auf der Geraden wegen dem Widerspruch. Deswegen kann es auch logisch nicht auf der Strecke AB liegen oder?

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Aber AB-Strecken sind nicht immer von 0 bis 1 oder?

Doch. Zumindest wenn du die Geradengleichung mit A und B wie angegeben aufgestellt hast.

Und wenn ich beim LGS davor unterschiedliche Parameterwerte rausbekomme, liegt es natürlich nicht auf der Geraden wegen dem Widerspruch. Deswegen kann es auch logisch nicht auf der Strecke AB liegen oder?

Genau. Das hast du richtig erkannt.

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Kurze Frage noch:

4+t = 2 + 2r

wenn ich jetzt hier -4 mache ist es dann t = 2-4 +2r oder 2-4 + 2r-4?

Ist eine Gleichung aus einem LGS das ich umformen zu versuche

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4 + t = 2 + 2r
t = -2 + 2r

Da du hier aber 2 Unbekannte hast läuft das normalerweise darauf hinaus, dass du noch eine Gleichung hast. Denn eine Gleichung langt dann nicht um die Lösung für r und t eindeutig zu bestimmen.

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Ich hatte aber immer im Hinterkopf behalten, dass wenn ich z.B. |  -4 mache, es nicht einzelne Gleichungsglieder betrifft, sondern die gesamte Gleichung -> [...] = (2 + 2r) - 4

Warum ist es mal so mal so?

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Und wenn man nur gucken soll, ob der Punkt auf der Strecke AB liegt, ist es dann sinvoller erstmal die Parameterwerte der Streckenendenpunkten zu berechnen oder zu gucken, ob sie überhuapt auf der Geraden liegt und dann wenn nicht, ist sie auch nicht auf AB?